Una identidad algebraica sorprendente:

Cauchy–Binet visto como relación de áreas

En R³ el área de un paralelogramo no tiene signo, porque podemos observarlo desde ambos lados del plano.

Sin embargo, al proyectar el paralelogramo generado por las filas de A sobre el plano generado por las filas de B, ambos paralelogramos quedan en el mismo plano.

En ese plano sí existe orientación.

Si los pares de vectores (B₁, B₂) y (A′₁, A′₂) tienen la misma orientación, el determinante det(AB^t) es positivo.

Si la orientación es opuesta, el determinante es negativo.

$ \det(AB^t)=\operatorname{Ar}(\mathrm{py}_B(A))\, \operatorname{Ar}(B) $

Sean $A$ y $B$ dos matrices $2\times3$ cuyas filas representan pares de vectores en $\mathbb{R}^3$. Vamos a ver cómo se llega a la igualdad siguiente.

Sean $u$ y $v$ los vectores fila de $B$. Estos dos vectores generan un plano en $\mathbb{R}^3$. Si $\nu$ es un vector unitario perpendicular a ese plano, entonces $\{u,v,\nu\}$ forma una base del espacio.

Cada vector fila de $A$ puede escribirse como

donde el término $c\nu$ es la componente perpendicular al plano de $B$. La proyección ortogonal sobre ese plano elimina precisamente dicha componente.

La proyección del vector anterior sobre el plano generado por $u$ y $v$ es

Por tanto los productos escalares con $u$ y $v$ son

La matriz $AB^t$ resulta ser

donde $M$ es la matriz de coordenadas de la proyección de $A$ en la base $\{u,v\}$.

La proyección de $A$ sobre el plano de $B$ es

El cuadrado de su área es

Utilizando propiedades del determinante,

Así

al multiplicar por $$ (\operatorname{Area}(B))^2=\det(BB^t) $$ se obtiene

Y como $$ AB^t=MBB^t $$

Concluimos que

El signo es positivo cuando la orientación de $\mathrm{proy}_B(A)$ coincide con la de $B$ en el plano que generan.

El mismo razonamiento es válido para matrices $A$ y $B$ de tamaño $n\times m$. En ese caso $\det(AB^t)$ representa el producto del volumen $n$-dimensional generado por los vectores de $B$ y el volumen de la proyección ortogonal de los vectores de $A$ sobre el subespacio generado por $B$.

Interpretación del segundo miembro

El segundo miembro de la fórmula de Cauchy–Binet puede interpretarse como la suma de los productos de las proyecciones de los paralelogramos sobre los planos coordenados

Cada menor corresponde a una de estas proyecciones.

Conclusión

La fórmula de Cauchy–Binet expresa una relación geométrica muy general entre elementos de volumen.

Si \(A,B\in\mathbb{R}^{n\times m}\) con \(n\le m\), el determinante

puede interpretarse como el producto entre:

• el elemento de volumen generado por las filas de \(B\)
• y el elemento de volumen de la proyección del paralelogramo (o paralelotopo) de \(A\) sobre el subespacio generado por \(B\).

La fórmula de Cauchy–Binet afirma que este producto coincide con

es decir, con la suma de los productos de los elementos de volumen de las proyecciones de \(A\) y \(B\) sobre todos los subespacios generados por grupos de \(n\) vectores de la base canónica.

Geométricamente, estos subespacios se obtienen fijando \(m-n\) coordenadas iguales a cero.

Ejemplo con matrices \(2\times5\)

Si ahora tomamos matrices

aparecen más combinaciones de menores, porque debemos elegir dos columnas entre cinco.

El número de términos es

Por ejemplo, consideremos

La fórmula de Cauchy–Binet nos da

Cada término corresponde al producto de los elementos de área de las proyecciones de los paralelogramos de \(A\) y \(B\) sobre uno de los planos coordenados del espacio \(\mathbb{R}^5\).

Así, la fórmula de Cauchy–Binet expresa que el producto entre el elemento de volumen generado por las filas de \(B\) y el elemento de volumen de la proyección del paralelogramo de \(A\) sobre el subespacio generado por \(B\) puede calcularse sumando las contribuciones de todas las proyecciones sobre los subespacios coordenados.

Cada índice \(I\) corresponde a elegir un conjunto de \(n\) coordenadas entre las \(m\) disponibles; geométricamente esto equivale a proyectar los paralelogramos de \(A\) y \(B\) sobre los subespacios obtenidos al hacer \(m-n\) coordenadas iguales a cero.

RESUMEN

Fórmula de Cauchy–Binet

Interpretación geométrica del primer miembro

El determinante del producto mide el producto entre el elemento de volumen generado por las filas de \(B\) y el elemento de volumen del paralelogramo obtenido al proyectar \(A\) sobre el subespacio generado por \(B\).

Interpretación geométrica del segundo miembro

Cada término corresponde al producto de las áreas de las proyecciones de los paralelogramos de \(A\) y \(B\) sobre uno de los subespacios coordenados de dimensión \(n\), obtenidos al hacer \(m-n\) coordenadas iguales a cero.

Por tanto, el segundo miembro representa la suma de los productos de los elementos de volumen de las proyecciones de \(A\) y \(B\) sobre todos los \(n\)-subespacios coordenados.

Producto escalar entre matrices

Esta identidad permite definir un producto escalar entre matrices \(n\times m\) con \(n\le m\).

La fórmula de Cauchy–Binet muestra que este producto escalar admite dos interpretaciones geométricas:

• como el producto entre el volumen generado por \(B\) y el volumen de la proyección de \(A\) sobre el subespacio generado por \(B\);
• como la suma de los productos de las proyecciones de \(A\) y \(B\) sobre todos los \(n\)-subespacios coordenados.

De esta forma se obtiene una extensión del producto escalar de vectores, cuyas dos interpretaciones clásicas son:

Epílogo

El carácter sorprendente de ciertas identidades matemáticas se percibe mejor cuando se observa con ojos nuevos una relación que nos resulta demasiado familiar. William Dunham recoge esta reflexión citando a Richard Trudeau:

...el teorema de Pitágoras establece un hecho extremadamente extraño, un hecho cuya particularidad no se ha reconocido, sólo porque el resultado es tan famoso. Esta extrañeza esencial ha sido muy bien expresada por Richard Trudeau en su libro The Non-Euclidian Revolution. Trudeau observa que los ángulos rectos son algo familiar, realidades cotidianas que aparecen no sólo en el mundo artificial, sino también en la misma naturaleza. ¿Qué podía ser más «ordinario» y «natural» que los ángulos rectos? Y, sin embargo, dice Trudeau:

Para mí el Teorema de Pitágoras es sumamente sorprendente… «a² = b² + c²»,… no me evoca ningún tipo de recuerdos físicos inmediatos… Como la ecuación es abstracta y precisa, es extraña. No puedo imaginar lo que una tal cosa puede tener que ver con los ángulos rectos de la vida cotidiana. Por eso, cuando el velo de la costumbre se levanta y vuelvo a contemplar el Teorema de Pitágoras como si fuera nuevo, me quedo estupefacto.

— William Dunham, Viaje a través de los genios, citando a Richard Trudeau, The Non-Euclidean Revolution.

Si volvemos ahora a la igualdad de Cauchy–Binet, podemos comprender mejor por qué en el teorema de Pitágoras aparecen siempre cuadrados y no cubos ni potencias de orden superior al aumentar la dimensión. La razón es que el teorema no es más que un caso particular de una fórmula mucho más general. Cuando en dicha igualdad tomamos B = A, los términos que aparecen son necesariamente cuadrados.

Desde la perspectiva que nos da la ley del paralelogramo, el teorema de Pitágoras no depende en realidad de la presencia de ángulos rectos.

Así, la sorprendente relación entre los lados de un triángulo rectángulo no es un fenómeno aislado, sino la manifestación concreta de una estructura mucho más general resumida en la fórmula de Cauchy-Binet.

OBSERVACIÓN 1

¿Por qué podemos hablar del n-paralelepípedo determinado por los vectores fila de una matriz?

Porque por un punto exterior a una recta pasa una única paralela. ( V postulado del libro de los Elementos de Euclides ).

OBSERVACIÓN 2

La aritmética (o el álgebra) y la geometría mantienen una relación sorprendentemente fecunda. A menudo se iluminan mutuamente: el álgebra aporta precisión y generalidad, mientras que la geometría ofrece intuición y claridad visual, contribuyendo ambas a la belleza de la comprensión.

Sin embargo, no siempre van necesariamente unidas, ni su relación adopta una única forma. Por ejemplo, que 3 × 4 = 12 no tiene por qué interpretarse exclusivamente como el área de un rectángulo de base 3 y altura 4, ni siquiera como la de un paralelogramo. El producto puede aparecer también como el número de piezas en una descomposición del plano en una base de figuras, que pueden adoptar formas muy diversas.