Bienvenidos a otro video de Mathologer. ¿Has oído hablar de las matemáticas del vórtice o el código 3-6-9 de Tesla?
Debo admitir que, en medio siglo obsesionado con las matemáticas, nunca me había topado con esos términos... hasta hace muy poco.
Esto es lo que aparece cuando buscas “3-6-9 Tesla” en YouTube: un montón de videos virales. ¡7 millones de vistas!
Muchos de estos videos muestran un curioso diagrama en sus miniaturas. Este diagrama suele llamarse el VÓRTICE y es uno de los temas principales en estos videos.
Todos han oído hablar de Nikola Tesla, el genio inventor de la bobina de Tesla y otros dispositivos eléctricos tempranos, ¿verdad? ¿El auto Tesla? Ese Tesla.
Pero, ¿sabías que Tesla también tenía una serie de excentricidades centradas en el número 3?
Por ejemplo, Tesla caminaba tres veces alrededor de la manzana antes de entrar a un edificio, solo se hospedaba en habitaciones de hotel cuyo número fuera divisible por tres, y así sucesivamente.
En general, estaba convencido de que los números 3, 6 y 9 contenían la clave del universo.
Según los defensores de las matemáticas del vórtice, el vórtice es esa clave. Suena un poco... loco :)
También, aunque las matemáticas del vórtice eran nuevas para mí, ya me había topado con el diagrama del vórtice antes, en un contexto distinto.
De todos modos, nuestra misión hoy es observar más de cerca el vórtice:
Hay 9 puntos en un círculo, etiquetados del 1 al 9. Bastante inocente :)
Luego hay un lazo con forma de infinito que conecta 6 de los puntos.
Los tres puntos restantes —3, 6 y 9— forman un triángulo equilátero.
Y dependiendo del video que veas, se le añaden algunas líneas más, así... o así... o así.
La última versión del diagrama es la que he conocido durante muchos años.
Es parte de una famosa secuencia de diagramas: uno por cada número entero positivo.
Esta secuencia de diagramas comienza así. Ese es el diagrama para el 1. Luego para el 2, el 3, el 4, y así sucesivamente.
El 9... ese es el vórtice, y luego las cosas siguen así. ¿Te resulta un poco familiar?
¿No? Entonces sigamos. ¿Qué está pasando aquí?
Estoy seguro de que muchos seguidores de Mathologer reconocerán estos diagramas y la bonita curva que empieza a aparecer.
Ya vimos estos diagramas en el video de Mathologer sobre las tablas de multiplicar, el conjunto de Mandelbrot y el Corazón de las Matemáticas.
La curva se llama cardioide: la curva del corazón matemático.
Aparece por todas partes, en las matemáticas y en la naturaleza.
Por ejemplo, es la curva que se obtiene al hacer rodar un círculo alrededor de otro de igual diámetro, así.
También es la curva que a menudo ves dentro de las tazas en los días soleados.
Y es la curva que aparece en el centro del conjunto de Mandelbrot.
En realidad, hay más, mucho más. Cada número entero positivo no solo da lugar a uno de estos diagramas con cardioides, sino a toda una familia de diagramas de líneas.
Y muchos de estos diagramas adicionales son increíblemente complejos y hermosos. Aquí tienes algunos ejemplos.
Bastante espectacular, ¿verdad? :)
Se vuelve aún más impresionante cuando coloreas los segmentos de los diagramas según su longitud.
Pero ya basta de imágenes bonitas. Estamos en una misión, ¿recuerdas?
Nuestro objetivo es entender matemáticamente el vórtice, lo que incluye comprender a sus misteriosos parientes.
¿Interesado? Bueno, ¿y quién no lo estaría? :) Así que vamos allá.
Todos los videos del código Tesla que mencioné antes presentan el vórtice de forma casi idéntica. Aquí vamos.
Empieza con las potencias de 2. Es decir, comienza con el número 1, y cada número es el doble del anterior.
Luego, para cada número en esta tabla, calculamos su llamada raíz digital: vamos sumando los dígitos hasta obtener un solo dígito.
Por ejemplo, en el caso de 128, la suma de los dígitos es 1 + 2 + 8 = 11.
11 todavía no es un número de un solo dígito, así que seguimos: 1 + 1 = 2.
Así que la raíz digital de 128 es 2. Fácil, ¿verdad?
Ahora hagamos esto con todos los números de nuestra secuencia. Ahí vamos.
Vamos a colocar esas raíces digitales en el círculo.
Primero 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 8, 7...
De hecho, vamos a seguir así para siempre: 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 8, 7...
Bastante simpático y sorprendente, ¿verdad?
Ahora, en lugar de duplicar, veamos la secuencia que obtenemos al dividir entre 2, comenzando otra vez con el 1.
1, 1/2 = 0.5, 1/4 = 0.25, y así sucesivamente.
Calculemos las raíces digitales de estos números. ¿Te suena familiar?
Veamos qué ocurre en el círculo: 1, 5, 7, 8, 4, 2. Las mismas raíces digitales que con la duplicación, solo que en orden inverso.
Y de nuevo, repitiéndose por siempre jamás.
También bastante curioso, ¿verdad?
Pero fíjate en algo: hay tres números que nunca aparecen en el ciclo.
Los 3, 6 y 9 de Tesla.
Whoa. En este punto de la explicación, la ausencia del 3, 6 y 9 en el ciclo suele interpretarse como una señal clara de que estamos ante algún tipo de mensaje divino.
Un código secreto. La poderosa clave para entender el universo de la que Tesla hablaba.
Bueno… tal vez.
Debo admitir que no logro seguir muy bien esa línea de razonamiento.
Sin embargo, a juzgar por la cantidad absurda de "me gusta" que estos videos reciben y por los comentarios entusiastas, parece que prácticamente todo el mundo está maravillado y completamente convencido de lo que está ocurriendo aquí.
Debe de ser solo cosa mía, supongo :)
Por supuesto, hay más evidencia de que el vórtice es la clave del universo. Mucha más.
Ahora se nos dice que observemos qué ocurre cuando seguimos duplicando y dividiendo empezando por el 3, y calculamos las raíces digitales de los números que obtenemos.
Ahí está. Whoa, la trama se complica.
Tanto al duplicar como al dividir, las raíces digitales van alternando entre 3 y 6.
Ahí: 3, 6, 3, 6... y ahí también: 3, 6, 3, 6...
La alternancia entre 3 y 6 corresponde a una línea entre esos números en el diagrama.
Definitivamente, la clave del universo, ¿verdad?
¿Y qué pasa con el 9?
Se señala además que muchos otros números famosos en matemáticas tienen raíz digital 9.
Por ejemplo: 360, 180, 90, 45 grados, el número 666, etc.
Todos esos números tienen raíz digital 9. Clave del universo. ¿Cómo podría ser de otra manera? :)
Está bien, está bien, puedo ver a muchos de ustedes gritándole a sus computadoras, intentando meter un “pero”.
Y sí, por supuesto que tienen razón.
Todo lo que hemos visto hasta ahora tiene una explicación matemática bastante simple, con la que casi todos se han topado en la escuela.
Una explicación que, por cierto, nunca se menciona en los videos sobre matemáticas del vórtice. Qué curioso.
Muy bien, ¿en qué parte de las matemáticas escolares se enseñaba a sumar los dígitos de un número? ¿Recuerdas?
¡Las pruebas de divisibilidad!
Si quieres saber si un número es divisible por 9, simplemente sumas sus dígitos y compruebas si esa suma es divisible por 9.
Así es como normalmente se enseña en la escuela.
Como repaso, hagamos un ejemplo: 527.
Bien, 5 + 2 + 7 es 14, y 14 no es divisible por 9, así que 527 tampoco lo es.
Y claro, si eso funciona, entonces puedes seguir sumando los dígitos hasta quedarte con la raíz digital.
Y así, muy simplemente, un número entero positivo es divisible por 9 exactamente cuando su raíz digital es 9.
En nuestro ejemplo, la raíz digital es 1 + 4 = 5.
Así que la raíz digital no es 9, y llegamos a la misma conclusión que antes: 527 no es divisible por 9.
En la escuela, normalmente no enseñan esta sencilla extensión de la prueba de divisibilidad estándar usando la raíz digital.
Por supuesto, deberían enseñarla, pero no lo hacen.
De hecho, también deberían enseñar que, SI la raíz digital de un número NO es 9, entonces esa raíz digital es simplemente el residuo de ese número al dividirlo por 9.
Bonito, ¿no?
Así que el residuo de 527 al dividirlo por 9 es ese 5 de antes.
¡Genial!
Por curiosidad, ¿alguno de ustedes, allá afuera, aprendió esta extensión del residuo en la escuela?
De todos modos, vale mucho la pena saberlo y enseñarlo, ¿no crees?
Te mostraré una demostración simple de todo esto en un momento, pero por ahora sigamos adelante.
Para explicar lo que realmente ocurre con todas esas matemáticas del vórtice, necesito recordarte dos propiedades súper importantes.
Propiedades sobre residuos en divisiones entre cualquier número, y también las equivalentes para raíces digitales en el caso especial del 9.
Nada aterrador, solo matemáticas de nivel primaria.
¿Cuáles son esas propiedades?
Bueno, la primera es que el residuo de la suma de dos números es igual al residuo de la suma de sus residuos.
Y la segunda propiedad es la misma idea pero aplicada a productos de números.
Suena un poco enredado, pero un ejemplo rápido lo aclarará, y al mismo tiempo te mostrará por qué funciona.
¿De acuerdo? Sigamos con la división entre 9 y elijamos dos números al azar...
527 y 38.
Ahora, 527 es igual a 9 × 58 + 5. Por lo tanto, al dividir 527 entre 9, el residuo es 5.
De forma similar, 38 = 9 × 4 + 2, así que el residuo es 2.
¿Y si también estás interesado en el residuo de la SUMA de 527 y 38?
Bueno, por supuesto que puedes simplemente sumar ambos números, dividir por 9 y así encontrar el residuo.
Sí, puedes hacer eso, pero hay una forma mucho más rápida. Mira:
De nuevo, 527 = 9 × 58 + 5, y 38 es igual a esto...
Sumando las partes de la derecha obtenemos esto...
Así que lo que esto muestra es que...
...el residuo de la suma de la izquierda es simplemente la suma de los residuos originales: 5 y 2.
5 + 2 es 7, así que el residuo es 7. Súper simple, ¿verdad?
Bueno, en la mayoría de los casos sí, pero a veces hay un pequeño problema.
Por ejemplo, si reemplazamos 38 por 44, subiendo 6, el 2 en la derecha se convierte en un 8.
Y 5 + 8 es 13, que es mayor que 9 y por lo tanto no es uno de los residuos válidos al dividir por 9.
Pero eso se soluciona fácilmente. ¿Cuál es el residuo de...
...13 al dividirlo entre 9? Pues 4, por supuesto.
Esto significa que el residuo de 527 + 44 al dividir entre 9 es 4. ¿Claro?
De nuevo, este es el atajo para la suma: si conoces los residuos de dos números, el residuo de su suma es simplemente la suma de los residuos o el residuo de esa suma.
También es bueno saber eso, ¿verdad?
Lo que es aún más importante para nosotros es que lo mismo se aplica a los productos.
Así, 527 por 44 tiene el mismo residuo que 5 por 8.
5 por 8 es 40, y cuando dividimos 40 entre 9, el residuo es 4.
Entonces, el residuo de 527 por 44 al dividir entre 9 es 4.
Finalmente, ¿qué pasa con las raíces digitales? Lo mismo :)
La raíz digital de la suma o el producto de dos números es igual a la raíz digital de la suma o producto de sus raíces digitales.
Muy ingenioso.
De nuevo, para resumir: a nivel de residuos, esta propiedad de suma y producto funciona al dividir entre cualquier número —2, 3, 4, 5, 666... cualquier número.
Sin embargo, en el caso especial del 9 —y solo del 9— tenemos esta ventaja adicional: los residuos corresponden esencialmente a las raíces digitales.
¿Todo claro?
Bien, ahora usemos estas propiedades para explicar qué está pasando dentro del vórtice.
Recuerda, empezamos observando la secuencia de potencias de 2. En otras palabras, seguimos multiplicando por 2 comenzando con 1.
Pero ahora, está claro por nuestra discusión que para generar esa secuencia de raíces digitales destacada en verde, también podemos simplemente seguir multiplicando por 2 y aplicar la raíz digital.
Verifiquémoslo.
Bien, comenzando con el 1 a la derecha:
1 por 2 es 2, 2 por 2 es 4, 2 por 4 es 8, 2 por 8 es 16, y la raíz digital de 16 es 1 + 6 = 7.
2 por 7 es 14 y 1 + 4 es 5, 2 por 5 es 10 y 1 + 0 es 1. Y así sucesivamente. Funciona.
Y viéndolo de esta forma, en realidad no es tan sorprendente que los números a la derecha eventualmente se repitan.
¿Por qué? Bueno, siempre estamos haciendo lo mismo una y otra vez: multiplicar por 2 seguido de calcular la raíz digital.
Y como solo hay 9 resultados posibles en esta operación, las cosas inevitablemente se repiten y luego forman un ciclo eterno.
Y, por supuesto, lo mismo ocurre si comenzamos con cualquier número y seguimos duplicando y calculando la raíz digital.
Eventualmente, las cosas se repiten y, a partir de ahí, se ciclan para siempre.
Si comenzamos con 3, obtenemos un ciclo muy pequeño: 3, 6, 3, 6, 3, 6...
¿Y si comenzamos con 9? Bueno, al duplicar seguimos generando números divisibles por 9, todos con raíz digital 9.
Así que, en el caso del 9, tenemos el más pequeño de los mini ciclos.
Muy bien, eso está genial. ¿Y qué pasa con esas secuencias de división por la mitad? Son un poco inusuales.
De hecho, nunca había visto a nadie calcular las raíces digitales de fracciones decimales antes de ver estos videos de Tesla.
Dicho esto, con lo que ya sabemos, tampoco es difícil explicar por qué terminamos con las mismas secuencias de raíces digitales de antes, pero en orden inverso.
Bien, para obtener esas fracciones decimales seguimos dividiendo por 2: 1/2 es 0.5, 1/4 es 0.25, 1/8 es 0.125, y así sucesivamente.
Ahora estoy seguro de que todos ustedes han visto estos números un millón de veces.
Sí, PERO ¿alguna vez notaron las potencias de 5 en esos números? ¿Qué?
Sí, potencias de 5. Solo quiten los puntos decimales y los ceros, y obtienen 5, 25, 125 y así sucesivamente: las potencias de 5.
¿De dónde vienen esas potencias de 5?
Bueno, en realidad, eso tampoco es difícil de explicar.
Verás, dividir entre 2 es lo mismo que multiplicar por 5 y luego dividir entre 10.
¿Verdad? 5 dividido entre 10 es 1/2.
Y, por supuesto, dividir entre 10 solo mueve el punto decimal.
Esto significa que, dígito a dígito, terminamos con potencias de 5 y un par de ceros.
Interesante, ¿no?
Muy bien, estamos llegando.
Así que, en lo que respecta a las matemáticas, el vórtice es simplemente una visualización de lo que sucede cuando multiplicamos los residuos de una división entre 9 por el número 2.
En términos técnicos, lo que estamos haciendo aquí es multiplicación por 2 módulo 9.
De hecho, casi lo olvido: si queremos pensar en el vórtice en términos de residuos y no de raíces digitales, deberíamos reemplazar el 9 de arriba por un 0.
¿Recuerdas esa pequeña diferencia, verdad?
¿Y qué pasa con los otros diagramas que te mostré antes?
Bueno, esos son visualizaciones de la multiplicación por 2 módulo otros números.
Aquí está otra vez el diagrama para el 5.
Bien, una rápida comprobación: 4 por 2 es 8, y cuando dividimos 8 entre 5 obtenemos un residuo de 3.
Tomamos ese 3, lo multiplicamos por 2 y da 6. Dividiendo 6 entre 5, el residuo es 1.
¡Funciona! :)
Y luego, como ya te mostré antes, al aumentar el módulo —es decir, el número por el que dividimos— empieza la verdadera magia.
Con la cardioide materializándose de la nada.
Pero todo esto es, en realidad, solo multiplicación por 2.
Los otros diagramas que te mostré se obtienen cuando multiplicas por otros números.
Así que, por ejemplo, echa un vistazo a este diagrama loco de aquí.
Esto es multiplicar por 240 módulo 7417.
¿Quién lo hubiera imaginado?
Ahora, la multiplicación módulo distintos números es una rama súper importante de las matemáticas,
con infinidad de aplicaciones dentro y fuera de las matemáticas.
Algoritmos criptográficos, campos finitos, teoría de números en general, y así sucesivamente.
En una aplicación para dibujar estos diagramas tendríamos dos controles básicos:
uno para establecer el número por el que multiplicamos y otro para fijar el módulo.
De hecho, hagamos otra competencia de programación.
Quien entre ustedes envíe una app en línea que dibuje estos diagramas,
participará en un sorteo para ganar el nuevo libro de Marty y mío.
Bueno, para el vórtice usamos multiplicador 2 y módulo 9.
Si cambiamos el módulo a 50, obtenemos esto.
Y si ahora cambiamos el multiplicador a 3, obtenemos esto otro.
De hecho, si lo observamos con atención, hay al menos un aspecto más de estos diagramas que también podríamos cambiar.
¿Puedes adivinar a qué me refiero?
Es una difícil, fácil de pasar por alto.
Te doy una pista: tiene que ver con el 9 ocupando un papel especial en nuestra discusión hasta ahora.
Cierto, solo para un módulo de 9 podemos usar el algoritmo de la raíz digital para construir estos diagramas.
Esto no funciona con ningún otro diagrama.
¿Qué es exactamente lo que hace que el 9 sea especial en este sentido?
Bueno, los matemáticos del vórtice probablemente te dirán que el 9 es especial porque forma parte del 3-6-9 de Tesla, la clave del universo.
Por supuesto, el 9 tiene que ser especial, ¿verdad?
En realidad, si lo examinamos más de cerca, resulta que el 9 es especial porque... escribimos los números en base 10.
¿Qué? Sí, la prueba de divisibilidad del 9 y toda la magia de la raíz digital es una consecuencia directa de que escribimos los números en base 10 :)
¿Quieres una prueba? No hay problema.
Déjame mostrarte por qué el residuo de este número al dividirlo entre 9 es el mismo que el residuo de la suma de sus dígitos.
Eso es lo que hace que la raíz digital funcione, ¿verdad?
Bueno, 2567 es simplemente 2 × 1000 + 5 × 100 + 6 × 10 + 7.
Y 1000 es 999 + 1, 100 es 99 + 1, y 10 es 9 + 1. Bien,
ahora expandimos y agrupamos todos los múltiplos de 9.
Ahora bien, 9, 99, 999... todos son divisibles por 9,
así que toda esa parte amarilla es divisible por 9.
Y la parte verde es simplemente la suma de los dígitos.
Y, obviamente, lo mismo es cierto para cualquier número entero.
Cualquier número entero es igual a 9 multiplicado por algo, más la suma de sus dígitos.
Pero entonces, si lo que te interesa es el residuo del número al dividirlo entre 9,
podemos simplemente olvidarnos de toda la parte amarilla, ya que es divisible por 9.
Y entonces, el residuo de nuestro número al dividir entre 9 es igual al residuo de la suma de sus dígitos.
¡Tachán! Prueba completada.
Y por eso la suma digital funciona para el 9, y por eso el 9 es especial.
Muy bien, pero ¿qué pasa si eres un alienígena con b dedos y escribes números en base b,
y no en base 10 como nosotros, los terrícolas de 10 dedos?
Bueno, entonces todo lo que dije en mi pequeña demostración sigue siendo válido,
excepto que el 9 se convierte en b-1, y b-1 se convierte en el número especial.
A su vez, el diagrama de multiplicar por 2 en base b-1 se convierte en el diagrama vórtice especial para un Tesla alienígena.
Ahora es este nuevo diagrama el que puede construirse usando raíces digitales.
Por ejemplo, para el Tesla de 8 dedos tenemos este vórtice.
Y puedes comprobar que la raíz digital en base 8 da exactamente estas conexiones.
Por ejemplo, empezando con el 4, calculamos: 2 por 4 es 8. En base 8, 8 es uno-cero.
Y 1 + 0 es 1.
Otro ejemplo: empezando con 5, 2 por 5 es diez. En base 8, diez es uno-dos, y 1 + 2 es 3, y así sucesivamente.
Muy bien, así que al menos desde un punto de vista matemático, el vórtice en realidad no es tan especial.
Es solo uno de infinitos diagramas que hacen prácticamente lo mismo.
Y, definitivamente, como ya hemos visto, muchos de los diagramas con módulos grandes son mucho más espectaculares
desde un punto de vista puramente estético.
Además, incluso desde el punto de vista matemático, hay muchos diagramas que son superiores al vórtice en muchos aspectos.
Por ejemplo, mira el diagrama para 11.
En este diagrama, las potencias de 2 crean un bucle que es lo más grande posible, conteniendo todos los números excepto el 11.
Sí, ese es un bucle continuo, a diferencia del vórtice que consiste en dos bucles.
Que exista un bucle máximo como ese tiene que ver con el hecho de que 11 es un número primo y que el 2
es un llamado elemento primitivo módulo este primo.
Si estás familiarizado con estos términos,
también reconocerás que estos bucles ilustran el hecho de que, para números primos, el campo finito Zp
tiene un grupo multiplicativo cíclico, un hecho de enorme importancia en matemáticas.
¿Y qué hay de la afirmación de que el vórtice es la clave para entender el universo?
Bueno, la discusión de hoy trató realmente de presentar una explicación sólida de las matemáticas que acompañan al vórtice,
una explicación que desmitifica sus supuestas propiedades súper especiales.
Espero que a estas alturas quede claro que el vórtice no es tan especial y asombroso como se dice
en todos esos videos de Tesla, y que proclamarlo como la clave del universo basándose principalmente
en esas propiedades es simplemente ridículo. Pero claro, eso ya lo sabías, ¿verdad?
De hecho, me pregunto qué opinas ahora de todos esos videos de Tesla y sus creadores.
Por favor, comparte tus pensamientos en los comentarios.
Dicho esto, estoy convencido de que las matemáticas en su conjunto
son la llave maestra para entender el universo.
Y, por supuesto, las matemáticas de las que hablamos hoy
son una parte, una parte pequeñita, pequeñita de esa llave.
Y si te fascina esa pequeñita parte y estás interesado en una comprensión real del universo,
bueno, entonces simplemente familiarízate con más y matemáticas más profundas :)
Aquí tienes un buen reto sugerido por Tristan.
Toma uno de estos diagramas. Vamos a quedarnos con el vórtice.
Multiplica el módulo por algún número entero. Digamos,
multiplicamos el módulo del vórtice, 9, por 3. Eso da 27.
Dibuja el nuevo diagrama.
Entonces, los bucles del primer diagrama estarán contenidos dentro del nuevo diagrama.
Déjame mostrarte en este ejemplo.
Aquí está el bucle con forma de infinito y el pequeño bucle horizontal del vórtice
escondidos dentro de este diagrama. Whoa, un supervórtice :) Súper clave del universo. En fin,
¿puedes explicar por qué nuestros diagramas tienen esta misteriosa propiedad de multiplicación de módulo?
¿Y qué hay de todas esas otras espectaculares tablas de multiplicar modulares?
¿Qué se sabe sobre las estructuras tan locas que hay dentro de ellas?
En realidad, no he podido encontrar mucho sobre estos diagramas en la literatura matemática.
Tal vez algunos de los profesionales entre ustedes puedan hacer algo sobre este lamentable estado.
...de las cosas, y llenar los vacíos en nuestro conocimiento al respecto.
Conozco demostraciones de que la curva que se materializa en los diagramas de multiplicar por 2
es realmente la cardioide. Esto parece deberse
al famoso matemático italiano del siglo XIX Luigi Cremona.
Además, cuando se experimenta un poco con multiplicadores pequeños —2, 3, 4, 5, 6— y un módulo grande,
otro patrón llamativo salta a la vista.
¿Por qué aparecen estos pétalos y por qué siempre hay uno menos que el multiplicador?
Bueno, los detalles son complicados, pero se puede obtener cierta intuición
para entender por qué hay uno menos que el multiplicador.
Mira esta animación. Este es solo el caso base donde multiplicamos por 2, lo que produce
la cardioide. Lo que estoy haciendo aquí es aumentar el módulo mientras trazo
las potencias de 2 que caben en el círculo. Nota que la cúspide aparece donde la última conexión
cruza directamente al otro lado. Tiene sentido, ¿verdad?
Aquí está lo que ocurre cuando fijamos el multiplicador en 3.
Bien, entonces la primera cúspide ocurre en un punto x tal que 3 por x está idealmente
en el lado opuesto del círculo.
Para el siguiente multiplicador, 4, la imagen se vería así.
Ahora, 4x - x, la distancia entre los dos puntos, es la mitad del círculo, la mitad del módulo.
Ahora solo seguimos nuestra intuición y resolvemos para x.
Por supuesto, x es simplemente la distancia desde la parte superior
alrededor del círculo.
Y así, el ancho de un pétalo de flor es 2 veces x.
Y eso significa que habrá un total de 4 - 1 = 3 pétalos alrededor
del círculo. ¡Tachán!
El mismo cálculo muestra que, en general, tendremos multiplicador menos 1
pétalos. Por supuesto, aún faltan bastantes detalles
para convertir este argumento en una demostración completa.
De todas formas, lo suficientemente bueno para este video.
Ahora bien, incluso en este diagrama monstruoso...
Con el multiplicador 240, hay 240 - 1, es decir, 239 pequeños pétalos alrededor del círculo exterior.
Hagamos un zoom en una parte del círculo. Hay montones y montones de pequeños pétalos.
¿Pero puedes ver? Incluso en el borde hay muchas más cosas ocurriendo.
Por ejemplo, ¿qué tal este anillo de pétalos más pequeños?
Un reto para los más entusiastas entre ustedes: ¿cuántos de esos pequeños pétalos hay?
¿Y cuántos bucles tiene este diagrama monstruoso?
¿Quién puede encontrar las respuestas a estas preguntas?
Pero, por supuesto, al alejarse, es donde realmente ocurre lo espectacular.
¿Cómo exactamente está toda esta estructura complicada y hermosa relacionada con el multiplicador y el módulo?
El único lugar que conozco que avanza un poco en la respuesta a esta pregunta
es un escrito no publicado de Simon Plouffe, que he enlazado en los comentarios.
Quizás conozcas a Simon Plouffe por su participación en el establecimiento
de la Enciclopedia de Secuencias de Enteros,
como creador de la calculadora simbólica inversa y por el descubrimiento de la espectacular
fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe para calcular dígitos individuales de pi.
En fin, un reto para los matemáticos súper entusiastas y capaces entre ustedes:
revisen el escrito de Simon Plouffe
y luego vayan donde nadie ha ido antes
y exploren los secretos de estos diagramas.
Y eso es todo por hoy. Espero que hayan disfrutado nuestra aventura del vórtice.
Hasta la próxima :)