Parametrizamos la esfera unidad como:
\[ \vec{r}(\theta, \varphi) = \begin{bmatrix} R \sin\theta \cos\varphi \\ R \sin\theta \sin\varphi \\ R \cos\theta \end{bmatrix} \]Del mismo modo que en el plano cartesiano todo punto tiene dos coordenadas (x, y), en la esfera las coordenadas de un punto son (θ, φ)
θ varía de 0 a 360º es decir, es un punto del ecuador que determina el meridiano del punto
φ varia de 0 a 180º y señala en qué paralelo se encuentra el punto
El ecuador juega el papel del eje X en coordenadas cartesianas, y el meridiano 0, el del eje Y
Podemos visualizarlo en el siguiente video
Dados dos puntos en la esfera de radio \(R\), con latitudes \(\theta_1, \theta_2\) y longitudes \(\varphi_1, \varphi_2\), sus coordenadas cartesianas son:
\[ P_i = \begin{pmatrix} R \sin\theta_i \cos\varphi_i \\ R \sin\theta_i \sin\varphi_i \\ R \cos\theta_i \end{pmatrix} \quad \text{para } i=1,2 \]
La medida del arco central de la esfera cuyos radios determinan los puntos \(P_1\) y \(P_2\) se obtiene a partir del ángulo \(\lambda\) entre los vectores radiales, usando el producto escalar:
\[ \cos \lambda = \frac{P_1 \cdot P_2}{R^2} = \sin\theta_1 \sin\theta_2 + \cos\theta_1 \cos\theta_2 \cos(\varphi_2 - \varphi_1) \]
Finalmente, la distancia geodésica \(d\) sobre la esfera de radio \(R\) es:
\[ d = R \cdot \arccos\Big( \sin\theta_1 \sin\theta_2 + \cos\theta_1 \cos\theta_2 \cos(\Delta\varphi) \Big) \] donde \(\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1\).
Se consideran los puntos \(P_1 = (1,0,0)\) y \(P_2 = (\cos \theta, \sin \theta, 0)\). El plano \(\pi_0\) pasa por \(O, P_1, P_2\). El plano \(\pi_1\) pasa por \(P_1, P_2\) y \((0,0,a)\).
Es decir, tomamos dos puntos en el ecuador: uno fijo \(P_1\) y otro \(P_2\) que gira con el control θ. El plano del ecuador (verde) corta a la esfera en un círculo. El plano granate pertenece al haz determinado por la recta \(P_1 P_2\) y varía con el control a. Ambos planos definen círculos que señalan dos caminos entre \(P_1\) y \(P_2\), siendo más corto el que pertenece al círculo máximo.
Si ocultamos el plano \(\pi_0\) y movemos el deslizador a, observamos que cuando a está a la izquierda (a=0) el arco \(P_1 P_2\) difiere menos de segmento \(P_1 P_2\).
Demostremos lo que acabamos de visualizar, la geodésica es el círculo máximo, es decir, el camino más corto para ir de un punto a otro sobre la esfera es a través del círculo de radio máximo
Si aceptamos que los arcos de circunferencia entre dos puntos son menores cuanto menor es su curvatura, entonces no hay nada que demostrar: la curvatura es \( \frac{1}{\text{Radio}} \), y el arco naranja es menor que el verde.
