Tomamos una pirámide cuadrangular de altura H y hacemos dos cortes paralelos a la base, a las alturas xi-1 y xi. Entre los dos cortes queda un tronco de pirámide de altura Δx = xi − xi-1.
Arrastra con el ratón para girar la figura y usa la rueda para acercar o alejar.
Rojo: sección entre los dos cortes.
Verde: planos de corte.
En los dos primeros dibujos el prisma tiene la misma altura y el mismo sentido de \(\Delta x\) que el tronco: va de \(x_{i-1}\) a \(x_i\). Por eso podemos superponerlos directamente.
Rojo: \(V_i\). Azul: \(A_1\Delta x\). Están superpuestos.
Rojo: \(V_i\). Azul: \(A_2\Delta x\). Están superpuestos.
Las secciones de la pirámide son cuadrados semejantes. Si \(x\) es la altura medida desde el vértice, el lado de la sección es proporcional a \(x\):
Por tanto, su área es proporcional a \(x^2\). Podemos escribir
Si los dos cortes están en \(x_1\) y \(x_2\), entonces
El volumen es la suma de las áreas de todas las secciones. En forma de integral:
Por tanto:
Ahora utilizamos la identidad
Como \(\Delta x=x_2-x_1\), obtenemos:
Los términos de los extremos son precisamente \(A_1\) y \(A_2\):
Para el término central:
Por tanto, la fórmula del volumen exacto queda:
Esta es la fórmula que estamos comparando con el volumen obtenido mediante la semisuma de las áreas.
El volumen del prisma de la semisuma es
Al restar el volumen exacto obtenemos:
Por tanto, para cada intervalo no degenerado, Vi < Vsemisuma. Pero cuando hacemos \(\Delta x\) cada vez más pequeño, las dos áreas \(A_1\) y \(A_2\) se acercan, y esta diferencia se hace cada vez menor.
Tomamos el tronco y lo comparamos con un cuerpo formado por dos prismas: el de base \(A_1\) y altura \(\Delta x/2\), debajo, y el de base \(A_2\) y altura \(\Delta x/2\), encima.
Rojo: tronco \(V_i\). Azul: \(A_1\Delta x/2+A_2\Delta x/2\).
Así aparece geométricamente la semisuma: no cambiamos el sentido de \(\Delta x\). Simplemente tomamos media altura con base \(A_1\) y la otra media altura con base \(A_2\).
Como las secciones cuadradas son semejantes, su lado es proporcional a la distancia al vértice. Por tanto, el área es proporcional a x²:
La semisuma de los extremos es la regla del trapecio aplicada a una función cuadrática. Por eso, para una sección de altura finita Δx, no coincide exactamente con el volumen.
Cuando Δx se hace muy pequeño, la diferencia entre ambas expresiones se hace cada vez menor. Ese es el paso que conduce a la integral.
El volumen exacto del tronco se puede interpretar como su altura \(\Delta x\) multiplicada por la media aritmética de tres cantidades: las dos áreas de las bases y su media geométrica.
Las tres cantidades son \[ \boxed{ A_1,\qquad \sqrt{A_1A_2},\qquad A_2 } \]
La cantidad central es la media geométrica de las dos áreas:
Y aparece además una identidad muy curiosa:
Así, la diferencia entre la media aritmética de las dos áreas y su media geométrica es exactamente la mitad del cuadrado de la diferencia de sus raíces.
Usamos los mismos controles de la página. El gráfico representa \(A(x)=cx^2\). Se señalan \(x_1\), \(x_2\), su media aritmética \(x_A\), el área correspondiente \(A(x_A)\) y la media aritmética \((A_1+A_2)/2\).
Rojo: tronco entre \(x_1\) y \(x_2\). Azul: área media \((A_1+A_2)/2\), situada en la sección \(x_M\). Verde: media aritmética \(x_A=(x_1+x_2)/2\).
La sección cuya área es \((A_1+A_2)/2\) no está, en general, en \(x_A\), sino en \(x_M=\sqrt{(x_1^2+x_2^2)/2}\).
Las dos cantidades aparecen a distinta altura en el gráfico: \(\;A(x_A)\neq(A_1+A_2)/2\;\) en general.
Ahora señalamos la media geométrica de \(x_1\) y \(x_2\), y comparamos su área con la media geométrica de \(A_1\) y \(A_2\).
Rojo: tronco entre \(x_1\) y \(x_2\). Azul: sección correspondiente a \(\sqrt{A_1A_2}\). Verde: sección situada en \(x_G=\sqrt{x_1x_2}\).
Aquí las dos posiciones coinciden: la sección en \(x_G=\sqrt{x_1x_2}\) tiene exactamente el área \(\sqrt{A_1A_2}\).
Aquí las dos cantidades coinciden exactamente:
Recordemos que, al medir la altura desde el vértice, el área de una sección de la pirámide es proporcional al cuadrado de su altura:
Esto hace que las medias aritmética y geométrica se comporten de manera diferente.
Si tomamos la sección cuya altura es la media aritmética de \(x_1\) y \(x_2\),
su área es
que, en general, no coincide con la media aritmética de \(A_1\) y \(A_2\):
Ahora tomemos la sección cuya altura es la media geométrica de \(x_1\) y \(x_2\):
Su área es
Pero, como
tenemos
Por tanto, obtenemos la propiedad:
Es decir: en una pirámide, la sección situada a la media geométrica de las alturas \(x_1\) y \(x_2\) tiene exactamente como área la media geométrica de las áreas \(A_1\) y \(A_2\).
La razón es sencilla: el área es proporcional a \(x^2\), y al elevar al cuadrado la media geométrica \(\sqrt{x_1x_2}\), desaparece la raíz.
Para entender por qué ocurre algo diferente con las áreas, consideremos primero un triángulo. Tomamos su altura como eje \(x\). Las secciones perpendiculares a esa altura son segmentos cuya longitud crece proporcionalmente a \(x\):
Por eso, si elegimos dos posiciones \(x_1\) y \(x_2\), la sección situada en la media aritmética \[ x_A=\frac{x_1+x_2}{2} \] tiene exactamente la media aritmética de las longitudes de las dos secciones: \[ L(x_A)=\frac{L_1+L_2}{2}. \]
Verde: media aritmética de las posiciones. Azul: media aritmética de las longitudes. En este caso las dos coinciden.