Media aritmética y Media Geométrica

La media de las secciones es la sección de las medias

1. Media aritmética: las secciones son longitudes

\(x_A=\frac{x_1+x_2}{2}\)     \(L(x_A)=\)     \(\frac{L_1+L_2}{2}=\)

Rojo: secciones en \(x_1\) y \(x_2\). Verde: \(x_A\). Azul: sección \(L(x_A)\).

Comenzamos con un triángulo. Tomamos su altura como eje \(x\). Las secciones perpendiculares al eje son segmentos. En un triángulo semejante al original, la longitud de esas secciones es proporcional a la posición \(x\):

\[ L(x)=kx. \]

Por tanto, si escogemos dos posiciones \(x_1\) y \(x_2\), y llamamos \(L_1=L(x_1)\) y \(L_2=L(x_2)\), la sección situada en la media aritmética de \(x_1\) y \(x_2\) tiene como longitud la media aritmética de \(L_1\) y \(L_2\):

\[ x_A=\frac{x_1+x_2}{2} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{L(x_A)=\frac{L_1+L_2}{2}}. \]
Para apreciar mejor la igualdad: comienza con \(x_1=3\), \(x_2=9\) y \(H=10\). Después mueve los controles.

Demostración

Como \(L(x)=kx\), tenemos:

\[ L_1=kx_1,\qquad L_2=kx_2. \]

Entonces:

\[ \frac{L_1+L_2}{2} = \frac{kx_1+kx_2}{2} = k\frac{x_1+x_2}{2}. \]

Pero \(x_A=(x_1+x_2)/2\), de modo que:

\[ \boxed{ \frac{L_1+L_2}{2} = kx_A = L(x_A) }. \]
En este caso, la media de las secciones es la sección de la media: las secciones son longitudes y la media es la media aritmética.

2. Media geométrica: las secciones son áreas

En el móvil: desliza el dedo sobre la pirámide para girarla. El giro es ahora más sensible para que se pueda ver fácilmente toda la figura.

\(x_G=\sqrt{x_1x_2}\)     \(A(x_G)=\)     \(\sqrt{A_1A_2}=\)

Rojo: tronco entre \(x_1\) y \(x_2\). Verde: secciones \(A_1,A_2\) y \(x_G\). Azul: sección de área \(\sqrt{A_1A_2}\).

Ahora pasamos de las longitudes a las áreas de las secciones de una pirámide. Medimos \(x\) desde el vértice. Como las secciones son cuadrados semejantes, su lado es proporcional a \(x\), y por tanto su área es proporcional a \(x^2\):

\[ A(x)=cx^2. \]

Tomamos dos secciones en \(x_1\) y \(x_2\):

\[ A_1=cx_1^2,\qquad A_2=cx_2^2. \]

Ahora elegimos la media geométrica de \(x_1\) y \(x_2\):

\[ x_G=\sqrt{x_1x_2}. \]

La sección situada ahí tiene como área:

\[ A(x_G) =c\left(\sqrt{x_1x_2}\right)^2 =cx_1x_2. \]

Por otra parte:

\[ \sqrt{A_1A_2} = \sqrt{(cx_1^2)(cx_2^2)} = cx_1x_2. \]

Por tanto:

\[ \boxed{ A\left(\sqrt{x_1x_2}\right) = \sqrt{A_1A_2} }. \]

Demostración

La media geométrica de las áreas es:

\[ \sqrt{A_1A_2} = \sqrt{cx_1^2\,cx_2^2} = cx_1x_2. \]

Y la sección situada en la media geométrica de las posiciones tiene área:

\[ A(x_G) = c(\sqrt{x_1x_2})^2 = cx_1x_2. \]

Luego ambas expresiones son iguales:

\[ \boxed{ A(x_G)=\sqrt{A_1A_2} }. \]
En este caso también se cumple que la media de las secciones es la sección de las medias, pero ahora las secciones son áreas y la media que interviene es la media geométrica.

La diferencia fundamental

La propiedad no es casual. Depende de cómo crece la magnitud de la sección con \(x\):

\[ \boxed{L(x)=kx} \qquad\text{frente a}\qquad \boxed{A(x)=cx^2}. \]

La primera relación transforma la media aritmética de las posiciones en la media aritmética de las longitudes. La segunda transforma la media geométrica de las posiciones en la media geométrica de las áreas.

La media de las secciones es la sección de las medias

En una pirámide, esta propiedad de la media geométrica es precisamente la que hace aparecer \(\sqrt{A_1A_2}\) en la fórmula exacta del volumen del tronco.