Rojo: secciones en \(x_1\) y \(x_2\). Verde: \(x_A\). Azul: sección \(L(x_A)\).
Comenzamos con un triángulo. Tomamos su altura como eje \(x\). Las secciones perpendiculares al eje son segmentos. En un triángulo semejante al original, la longitud de esas secciones es proporcional a la posición \(x\):
Por tanto, si escogemos dos posiciones \(x_1\) y \(x_2\), y llamamos \(L_1=L(x_1)\) y \(L_2=L(x_2)\), la sección situada en la media aritmética de \(x_1\) y \(x_2\) tiene como longitud la media aritmética de \(L_1\) y \(L_2\):
Como \(L(x)=kx\), tenemos:
Entonces:
Pero \(x_A=(x_1+x_2)/2\), de modo que:
Antes de pasar a las áreas, podemos hacer otra comprobación. Si la longitud de la sección es proporcional a \(x\), podemos preguntar qué ocurre si tomamos la media geométrica de las dos posiciones.
Rojo: \(x_1,x_2\). Verde: \(x_G\). Azul: \(L(x_G)\).
Como \(L(x)=kx\), si \(x_G=\sqrt{x_1x_2}\), entonces \[ L(x_G)=k\sqrt{x_1x_2} =\sqrt{(kx_1)(kx_2)} =\sqrt{L_1L_2}. \] Por tanto, la longitud de la sección en la media geométrica de las posiciones es la media geométrica de las dos longitudes.
Al pasar de longitudes a áreas aparece una diferencia fundamental. Podemos tomar la media aritmética de las posiciones, pero la sección que obtenemos en ese punto no tiene, en general, el área igual a la media aritmética de las dos áreas.
En el móvil: desliza el dedo sobre la pirámide para girarla.
Rojo: secciones en \(x_1\) y \(x_2\). Verde: media aritmética \(x_A\). Azul: sección \(A(x_A)\).
La razón es que ahora \(A(x)=cx^2\), no \(A(x)=cx\). Por eso la media aritmética de las posiciones no se transforma en la media aritmética de las áreas.
En el móvil: desliza el dedo sobre la pirámide para girarla. El giro es ahora más sensible para que se pueda ver fácilmente toda la figura.
Rojo: tronco entre \(x_1\) y \(x_2\). Verde: secciones \(A_1,A_2\) y \(x_G\). Azul: sección de área \(\sqrt{A_1A_2}\).
Ahora pasamos de las longitudes a las áreas de las secciones de una pirámide. Medimos \(x\) desde el vértice. Como las secciones son cuadrados semejantes, su lado es proporcional a \(x\), y por tanto su área es proporcional a \(x^2\):
Tomamos dos secciones en \(x_1\) y \(x_2\):
Ahora elegimos la media geométrica de \(x_1\) y \(x_2\):
La sección situada ahí tiene como área:
Por otra parte:
Por tanto:
La media geométrica de las áreas es:
Y la sección situada en la media geométrica de las posiciones tiene área:
Luego ambas expresiones son iguales:
La propiedad no es casual. Depende de cómo crece la magnitud de la sección con \(x\):
La primera relación transforma la media aritmética de las posiciones en la media aritmética de las longitudes. La segunda transforma la media geométrica de las posiciones en la media geométrica de las áreas.
En una pirámide, esta propiedad de la media geométrica es precisamente la que hace aparecer \(\sqrt{A_1A_2}\) en la fórmula exacta del volumen del tronco.
La idea se puede expresar sin necesidad de construir un nuevo interactivo. Si en dimensión \(n\) las secciones tienen dimensión \(n-1\), y las figuras son semejantes, su medida es proporcional a una potencia de \(x\):
Entonces la media geométrica de dos posiciones sigue pasando directamente a la media geométrica de las medidas de las secciones:
Así, la media geométrica tiene una propiedad que atraviesa todas las dimensiones: la medida de la sección en la media geométrica de las posiciones es la media geométrica de las medidas de las dos secciones.
Podemos hacer la misma pregunta con la media armónica:
¿Coincide la sección situada en la media armónica de \(x_1\) y \(x_2\) con la media armónica de las dos secciones?
Cuando las secciones son longitudes, \(L(x)=kx\). Si \(x_H=H(x_1,x_2)\), entonces:
Cuando las secciones son áreas, \(A(x)=cx^2\). La igualdad exigiría
pero en general
Por tanto, la media armónica no funciona en dimensión 3. Y el mismo cálculo muestra que tampoco funciona, en general, en dimensión \(n>2\), donde las secciones son proporcionales a \(x^{n-1}\).
La media de las secciones es la sección de la media.