Polinomio de Ehrhart en ℤ²

Sea \( P \) un polígono con vértices en \( \mathbb{Z}^2 \). El polinomio de Ehrhart \( L_P(t) \) cuenta cuántos puntos con coordenadas enteras hay dentro del polígono dilatado \( tP \), incluyendo tanto el interior como el borde.

Para valores \( t = 1, 2, 3 \), calculamos:
\( L(1) = \#(P \cap \mathbb{Z}^2) \),
\( L(2) = \#(2P \cap \mathbb{Z}^2) \),
\( L(3) = \#(3P \cap \mathbb{Z}^2) \)

A partir de estos valores, se interpola un polinomio de segundo grado usando interpolación de Lagrange: \[ L_P(t) = a t^2 + b t + c \] resultando

• \( a \): área del polígono
• \( b \): mitad de los puntos enteros en el borde
• \( c = 1 \)

De forma análoga, en \( \mathbb{Z}^3 \), el polinomio de Ehrhart se expresa como: \[ L_P(t) = a t^3 + b t^2 + c t + d \] donde:

• \( a \): volumen del poliedro (en unidades cúbicas enteras)
• \( b, c, d \): reflejan propiedades geométricas del borde

Explorador de \( L_P(t) \) en 2D