Teorema de Pick

El Teorema de Pick permite calcular el área de un polígono cuyos vértices están en puntos con coordenadas enteras (puntos de una rejilla).

Establece que:

A = I + B/2 - 1

donde:

• A es el área del polígono,
• I es el número de puntos interiores (que están dentro del polígono pero no en su borde),
• B es el número de puntos del borde.

🧠 Idea general de la demostración

La clave es reducir cualquier polígono a una combinación de formas más simples (como triángulos o rectángulos) sobre los cuales el teorema ya se puede verificar fácilmente, y luego usar inducción para extender el resultado.

🔁 Paso 1: Verificación para casos base

Triángulo mínimo (área 1/2)
Consideremos un triángulo cuyos tres vértices son puntos de la rejilla y no contiene ningún otro punto de la rejilla ni en su interior ni en sus lados. Tomemos uno de los vértices como el origen (0,0), y llamemos A y B a los otros dos vértices. Entonces A y B generan un paralelogramo (la celda fundamental del subgrupo de ℤ² que generan A y B).

Este paralelogramo tampoco tiene ningún otro punto de la rejilla en su interior, lo que implica que A y B forman una base de ℤ². Es decir, cualquier punto con coordenadas enteras puede escribirse como combinación entera de A y B. Veámoslo:

Si algún punto entero no pudiera escribirse como combinación entera de A y B, entonces dicho punto estaría en otro coset del subgrupo generado por A y B. Pero eso implicaría que al aplicar traslaciones por múltiplos de A y B, ese punto caería dentro del paralelogramo generado por A y B —lo cual es una contradicción, ya que el paralelogramo no contiene más puntos que sus vértices.

Ahora sabemos que este paralelogramo, al no contener más puntos de ℤ² que sus cuatro vértices, determina una base del grupo ℤ². Es decir, los vectores de la base canónica, (1, 0) y (0, 1), se pueden escribir como combinaciones lineales enteras de los vectores OA y OB, donde A y B son los otros dos vértices del triángulo (además del origen).

Sea entonces:

• (1, 0) = a·OA + b·OB
• (0, 1) = c·OA + d·OB

a, b, c, d son números enteros.

El área del paralelogramo generado por los vectores de la base canónica (1, 0) y (0, 1) es 1. Esta área también se puede expresar como el valor absoluto del determinante de cambio de base, m,  por el área n del paralelogramo determinado por OA y OB, tanto m como n son números enteros

El área del paralelogramo de la base canónica es 1 y es el producto de n y m

1 = n × m

Como tanto n como m son números enteros positivos, la única posibilidad es que n = 1. Es decir, el área del paralelogramo formado por OA y OB es exactamente 1.

El triángulo que usa como vértices el origen, A y B es justo la mitad de ese paralelogramo. Por tanto, su área es:

A = 1/2

También en este caso, el Teorema de Pick se cumple:

• I = 0 (ningún punto interior)
• B = 3 (solo los vértices)

Entonces:
A = I + B/2 - 1 = 0 + 3/2 - 1 = 1/2 ✅ Funciona.

🧱 Paso 2: Demostración por inducción

Hipótesis inducción:
Supongamos que el teorema es cierto para todos los polígonos con n puntos de la rejilla en su interior o en su borde.

Paso inductivo:
Queremos demostrarlo para un polígono  P con n+1 puntos de la rejilla en total : I + B

 Cuando P es un triángulo, consideramos dos casos
a) En el interior de un lado hay un punto de la rejilla: uniendo este punto con el vértice opuesto del lado, se divide la figura en dos triángulos a los que se les puede aplicar la hipótesis de inducción
b) En el borde solo hay tres puntos de la rejilla, los vértices. Si no hay uno interior ya vimos en el paso 1 que se cumple el teorema, y si hay algún punto de la rejilla en su interor, uniendo es punto con los tres vértices se subdivide en tres triángulos sobre los que podemos aplicar la hipótesis de inducción

Si P tuviera más de tres lados, se divide el polígono P en dos sub-polígonos más pequeños P₁ y P₂, a lo largo de una diagonal que conecta dos vértices con coordenadas enteras (esto siempre es posible si P tiene más de tres lados).Por hipótesis de inducción, el teorema es válido para P₁ y P₂.

Suma las áreas:

A = A₁ + A₂ = (I₁ + B₁/2 − 1) + (I₂ + B₂/2 − 1)

Ajusta los conteos: algunos puntos del borde ahora son internos al polígono combinado, y hay que evitar contarlos dos veces. La suma final se puede ajustar para que coincida con la fórmula total:

A = I + B/2 − 1

✅ Esto cierra la inducción.

🧰 Observación clave

Si combinas dos polígonos aplicando Pick, tienes que sumar sus interiores, sumar los bordes, y restar los puntos comunes en la frontera interna (porque se convierten en puntos interiores del polígono grande).

Esto asegura que el conteo se ajusta adecuadamente y la fórmula sigue cumpliéndose.

✨ Conclusión

La belleza del Teorema de Pick está en que da una forma exacta, simple y entera de calcular áreas sin usar coordenadas o determinantes, siempre que los vértices estén en la rejilla. Y su demostración, aunque accesible, muestra lo poderoso que puede ser el razonamiento inductivo y la descomposición de figuras.

A = I + B/2 - 1

Haz clic en la rejilla de 10x10 para crear un polígono. Finaliza al volver a hacer clic cerca del primer punto. Luego selecciona dos puntos en su borde para trazar una diagonal y dividirlo. Si escoges un triángulo verás que la subdivisión en dos polígonos se realiza de forma automática.