Consideramos el paraboloide definido por:
\[ z = x^2 + y^2 \]En coordenadas polares, se parametriza como:
\[ \vec{r}(r, \phi) = \begin{bmatrix} r \cos\phi \\ r \sin\phi \\ r^2 \end{bmatrix} \]Los vectores tangentes son:
\[ \partial_r \vec{r} = \begin{bmatrix} \cos\phi \\ \sin\phi \\ 2r \end{bmatrix}, \quad \partial_\phi \vec{r} = \begin{bmatrix} -r\sin\phi \\ r\cos\phi \\ 0 \end{bmatrix} \]La métrica inducida en el paraboloide se obtiene como:
\[ ds^2 = (1 + 4r^2)dr^2 + r^2 d\phi^2 \]con matriz métrica:
\[ g = \begin{pmatrix} 1 + 4r^2 & 0 \\ 0 & r^2 \end{pmatrix} \]