Familias Famosas de Números

Muchas familias de números surgen una y otra vez en diferentes problemas matemáticos. A menudo, han recibido nombres en honor a los matemáticos que los investigaron. En este capítulo conoceremos los números de Bell y Stirling, Ramanujan, Catalan, Bernoulli y Euler, Fibonacci y Lucas.

Números de Bell y Números de Stirling

Muchos de estos números surgen al contar las diferentes formas de agrupar n objetos. ¿De cuántas formas se pueden agrupar n objetos en grupos? Si tus objetos son claramente distinguibles, la respuesta se llama usualmente número de Bell, en honor a Eric Temple Bell, conocido como matemático, historiador de las matemáticas y autor de varias historias detectivescas bajo el nombre de John Taine.

La Figura 4.1 muestra todas las formas de agrupar 4 piezas de equipaje y demuestra que el cuarto número de Bell, b₄, es 15. El número de agrupamientos de n cosas distintas en exactamente k grupos se llama número de conjunto de Stirling, {n \choose k}, tradicionalmente conocido como el número de Stirling del segundo tipo.

Las cuatro columnas de la Figura 4.1 muestran que:

\[ \left\{ \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right\} = 1, \quad \left\{ \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right\} = 7, \quad \left\{ \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right\} = 6, \quad \left\{ \begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array} \right\} = 1. \]

Aquí hay algunos números de conjunto de Stirling adicionales y números de Bell:

El n-ésimo número de Bell, \( b_n \), es la suma de los números de conjunto de Stirling en cada fila:

\[ b_n = \left\{ \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right\} + \cdots + \left\{ \begin{array}{c} n \\ n \end{array} \right\}, \]

y es el número total de formas de organizar \( n \) objetos en grupos. Los números de ciclo de Stirling, \( \left[ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right] \) (tradicionalmente llamados números de Stirling del primer tipo) cuentan las permutaciones de \( n \) objetos que tienen exactamente \( k \) ciclos. Por ejemplo, las 6 permutaciones de 3 objetos se clasifican como:

• 1 ciclo: (123), (132)
• 2 ciclos: (12)(3), (13)(2), (23)(1)
• 3 ciclos: (1)(2)(3)

y cumplen:

\[ \left[ \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right] + \cdots + \left[ \begin{array}{c} n \\ n \end{array} \right] = n!. \]

Los triángulos en las Tablas 4.1 y 4.2 se calculan mediante variantes de la regla del triángulo de Pascal:

\[ \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}, \]

\[ \left\{ \begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array} \right\} = k \left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array} \right\}, \]

y

\[ \left[ \begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array} \right] = n \left[ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array} \right]. \]

Algebraicamente, \( \left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\} \) y \( \left[ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\} \) son los coeficientes de \( x^n \) y \( x^k \), respectivamente, en \( 1 / (1 - x)(1 - 2x) \cdots (1 - kx) \) y \( (1 + x)(1 + 2x) \cdots (1 + nx) \).

Partición y Composición de Números; Números de Ramanujan

Si tus \( n \) objetos son indistinguibles, entonces el número de formas de agruparlos se llama número de partición, \( p(n) \). La Figura 4.2 muestra que \( p(4) = 5 \) (las cinco áreas de la Figura 4.1).

No hay una fórmula exacta simple para \( p(n) \), pero hay una fórmula aproximada notable conjeturada por el famoso matemático indio, Srinivasa Ramanujan:

\[ p(n) \approx \frac{1}{4n\sqrt{3}} e^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}}. \]

Esto fue probado más tarde por Hardy y Ramanujan y modificado posteriormente por Rademacher a una fórmula exacta:

\[ p(n) = \frac{1}{\pi\sqrt{2}} \sum_{k=1}^\infty A_k(n)k^{-1/2} \frac{d}{dx}\left[\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}}(x - \frac{1}{24})\right)\right]_{x=n}, \]

donde

\[ A_k(n) = \sum_{0 \leq h < k, \, \text{mcd}(h,k) = 1} \omega_k e^{-2\pi i nh / k}, \]

con \( \omega_k \) una cierta raíz 24ª de la unidad.

En el conteo de particiones, no nos importa el orden de las partes. Si consideramos el orden, la respuesta es mucho más simple. Hay exactamente \( 2^{n-1} \) particiones ordenadas (o composiciones, como MacMahon las llamó) de \( n \).

Quizás la fórmula más extraña para los números de partición es el método de Euler utilizando números pentagonales:

\[ p(n) - p(n-1) - p(n-2) + p(n-5) + p(n-7) - p(n-12) \ldots = 0. \]

Un Paquete de Problemas

Orpheus con su lira hizo que los árboles
Y las montañas se inclinaran...

En las próximas páginas describiremos muchos problemas que tienen la misma respuesta, ¡y luego explicaremos por qué la respuesta es siempre la misma!

Patrones de Frisos

¿Cuántas diagonales diferentes se pueden colocar en un patrón de friso con \( n+1 \) filas? Las respuestas para \( n = 1, 2, 3 \) son 1, 2, 5, respectivamente (Figura 4.3).

Figura 4.3 Patrones de frisos con \( n + 1 \) filas.

Dividiendo Polígonos en Triángulos

¿Cuántas formas hay de dividir un polígono de \( (n+2) \)-lados dado en \( n \) triángulos? (Figura 4.4)

Figura 4.4 Dividiendo polígonos en triángulos.

Árboles Binarios

¿Cuántos árboles binarios planos enraizados existen con \( n \) nodos internos? (Figura 4.5)

Figura 4.5 Árboles binarios: “Plano” significa que izquierda y derecha son distinguibles. Agregue las imágenes espejo de los árboles en la última fila.

Evaluando Exponentes Escalonados

¿Cuántos valores puedes esperar de un exponente escalonado \( n \)-ple? (Figura 4.6)

Figura 4.6 Los exponentes escalonados dan valores variados.

Arbustos Planos Enraizados

¿Cuántos arbustos planos enraizados existen con \( n \) bordes? (Figura 4.7)

Figura 4.7 Arbustos planos enraizados.

Montañas

¿Cuántas montañas puedes dibujar con \( n \) trazos hacia arriba y \( n \) trazos hacia abajo? (Figura 4.8)

Figura 4.8 Montañas.

Paréntesis

¿De cuántas maneras puedes disponer \( n \) pares de paréntesis? (Figura 4.9)

Figura 4.9 Disposición de \( n \) pares de paréntesis.

Manos Cruzadas en la Mesa

¿Cuántos apretones de manos sin cruces son posibles con \( n \) pares de personas? (Figura 4.10)

Figura 4.10 Apretones de manos sin cruzarse. La última fila da 14 maneras rotando.

Números de Catalan

Observa los números centrales en el triángulo de Pascal (Figura 4.11):

\( 1, \ 2, \ 6, \ 20, \ 70, \ 252, \ 924, \ 3432, \ 12870, \ 48620, \dots \)

Parece que podemos dividirlos por:

\( 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9, \ 10, \dots \)

para obtener la siguiente secuencia de números enteros:

\( 1, \ 1, \ 2, \ 5, \ 14, \ 42, \ 132, \ 429, \ 1430, \ 4862, \dots \)

Un número central típico es el coeficiente binomial, \( \binom{2n}{n} \), por lo que nuestra conjetura es:

\[ c_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} = \frac{2n!}{n!(n+1)!} = \frac{1}{2n+1} \binom{2n+1}{n}. \]

Estos números se llaman números de Catalan. Ahora mostraremos que todos los problemas anteriores tienen la misma respuesta.

Figura 4.11 Los coeficientes binomiales centrales.

Frisos y Polígonos

La correspondencia entre frisos y polígonos es bastante fácil de describir. El patrón de friso (Figura 4.12) corresponde al polígono etiquetado en diagonales de triángulo (Figura 4.13) porque la nueva fila debajo de la fila superior de unos en la Figura 4.12 indica el número de triángulos en los vértices del polígono.

Alternativamente, en la Figura 4.14, deja sin etiquetar el vértice inferior izquierdo y etiqueta todos los vértices conectados a él con unos. Luego etiqueta otros vértices de manera que el número en el último vértice de cualquier triángulo sea la suma de los otros dos. Lee alrededor de las etiquetas y obtendrás las cinco diagonales diferentes del friso de la Figura 4.12.

Un patrón más complicado y el polígono correspondiente aparecieron en el Capítulo 3. Conway y Coxeter han dado una explicación completa de por qué esto funciona.

Figura 4.12 Patrón de friso con cinco diagonales diferentes.

Figura 4.13 Un polígono disecado con el número de triángulos en cada vértice.

Figura 4.14 Polígonos etiquetados con diagonales del friso.

Figura 4.15 Los árboles binarios trazan caminos a través de polígonos.

Árboles y Exponenciaciones

La Figura 4.15 muestra cómo los polígonos divididos corresponden a árboles binarios planos.

Figura 4.16 Los árboles binarios están relacionados con órdenes de operación al exponenciar.

La Figura 4.16 relaciona los árboles binarios con expresiones exponenciales, y la Figura 4.17 asocia estas últimas con arbustos.

Exponenciales y Arbustos

Figura 4.17 Los paréntesis se han eliminado, usando \(a^b^c = d^x\).

Montañas y Paréntesis

La Figura 4.18 vincula los arbustos con montañas; la Figura 4.19 vincula las montañas a nidos de paréntesis; y la Figura 4.20 conecta estos con apretones de manos.

Figura 4.18 Formas de arbustos y formas de montañas.

Figura 4.19 Patrones de paréntesis y formas de montañas.

Paréntesis y Apretones de Manos

Todos estos objetos variados (y de hecho muchos más) son contados por los mismos números. ¡Para ver que son los números de Catalan, quizás sea más fácil contar las montañas!

Figura 4.20 Los paréntesis muestran qué pares de personas se dan la mano.

Montañas y números de Catalan

Si añadimos un trazo ascendente extra, hay \(7! / 4!3! = 35\) secuencias de 4 trazos ascendentes y 3 descendentes, pero si continuamos estos patrones periódicamente (Figura 4.21), obtenemos solo 5 diferentes secuencias infinitas, que se dividen naturalmente en las líneas discontinuas para revelar las 5 diferentes montañas con 3 trazos ascendentes y 3 descendentes.

En general, las montañas con \(n\) trazos ascendentes y \(n\) descendentes corresponden a: \[ \frac{1}{2n+1} \binom{2n+1}{n} \]

Figura 4.21 Montañas con 4 trazos ascendentes y 3 descendentes.

Este es uno de los tres fórmulas que dimos para \(c_n\), el n-ésimo número de Catalan.

Estamos seguros de que ya has visto suficiente sobre los números de Catalan, así que pasaremos a un nuevo tema.

La fórmula de Faulhaber

Ya hemos visto las fórmulas para las sumas de números hasta \(n\), y de sus cuadrados y cubos, en el Capítulo 2: \[ 1^0 + 2^0 + \ldots + n^0 = n, \] \[ 1^1 + 2^1 + \ldots + n^1 = \frac{1}{2} [n^2 + n], \] \[ 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{1}{3} [n^3 + \frac{3}{2}n^2 + \frac{1}{2}n], \] \[ 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \frac{1}{4}[n^4 + 2n^3 + n^2]. \]

Johann Faulhaber, conocido en su tiempo como el Gran Aritmético de Ulm pero ahora casi olvidado, trabajó en la fórmula para las sumas de potencias mayores en su Academiae Algebrae (1631): \[ 1^k + 2^k + \ldots + n^k = \frac{1}{k}\left[n^k + \binom{k}{1}n^{k-1} \times \frac{1}{2} + \binom{k}{2}n^{k-2} \times \frac{1}{6} + \binom{k}{3}n^{k-3} \times 0 + \ldots\right]. \]

Observa que la expresión entre corchetes es exactamente como la fórmula para el teorema binomial, excepto que no hay término constante y los otros términos se multiplican por ciertas constantes: \[ 1 \quad \frac{1}{2} \quad \frac{1}{6} \quad 0 \quad -\frac{1}{30} \quad 0 \quad -\frac{1}{42} \quad 0 \quad 0 \quad \frac{5}{66} \quad 0 \quad \ldots \]

Números de Bernoulli

Estas constantes en la fórmula de Faulhaber se conocen como los números de Bernoulli, ya que se discuten intensamente en la obra póstuma de Jacob (James) Bernoulli, Ars Conjectandi (1713), aunque Bernoulli da el crédito completo a Faulhaber.

Para recordarnos la conexión con el teorema binomial, usaremos los nombres:

Al igual que si los números de Bernoulli fueran potencias (lo cual, por supuesto, no lo son).

La fórmula de Faulhaber puede escribirse formalmente como:

\( 1^k + 2^k + \cdots + n^k = \frac{(n + B^k)^k - B^k}{k}. \)

Las expresiones dentro de las "comillas" deben interpretarse como una suma de términos, donde cada uno es una potencia de \( B \) multiplicada por algún número, y las potencias de \( B \) deben entenderse como números de Bernoulli.

Jacob Bernoulli se jactaba de haber encontrado la suma de las potencias décimas de los primeros mil enteros intra semiquadrantem horae (¡en 7½ minutos!) Ahora que conoces la fórmula de Faulhaber, puedes verificar esto en menos tiempo:

\( "(x + B)^{11} - B^{11}" \div 11 = \frac{1}{11}(x^{11} + 11B x^{10} + 55B^2 x^9 + 330B^3 x^7 + 462B^5 x^5 + 165B^8 x^3 + 11B^{10}x) \),

con \( x = 1000 \) y \( B^1 = \frac{1}{2}, B^2 = \frac{1}{6}, B^4 = -\frac{1}{30}, B^6 = \frac{1}{42}, B^8 = -\frac{1}{30}, B^{10} = \frac{5}{66} \), tienes:

Cómo encuentras los números de Bernoulli? Puedes definirlos y computarlos mediante las ecuaciones:

\( B^2 - 2B^1 + 1 = B^2, \text{ donde } B^1 = \frac{1}{2}; \)
\( B^3 - 3B^2 + 3B^1 - 1 = B^3, \text{ donde } B^2 = \frac{1}{6}; \)
\( B^4 - 4B^3 + 6B^2 - 4B^1 + 1 = B^4, \text{ donde } B^3 = 0; \)
\( B^5 - 5B^4 + 10B^3 - 10B^2 + 5B^1 - 1 = B^5, \text{ donde } B^4 = -\frac{1}{30}; \)

y, en general:

\( "(B - 1)^k = B^k" \quad (\text{para } k \neq 1) \).

Así, \( B^{k-1} \) puede calcularse si ya conoces \( B^1, B^2, \ldots, B^{k-2} \). Por otro lado, \( B^0 = (B - 1)^1 \) y \( B^1 \) no son iguales. De hecho:

\( (B - 1)^1 = B^1 - 1 = -\frac{1}{2}, \text{ mientras que } B^1 = \frac{1}{2}. \)

Restando ambas expresiones, obtenemos:

“(100 + \( B^k \)) − (99 + \( B^k \))” = \( k \cdot 100^{k-1} \).

Ahora sumamos un centenar de tales ecuaciones y cancelamos muchos términos:

\[ “(100 + B^k) − (99 + B^k)” = k \cdot 100^{k-1} \\ “(99 + B^k) − (98 + B^k)” = k \cdot 99^{k-1} \\ \cdots \\ “(2 + B^k) − (1 + B^k)” = k \cdot 2^{k-1} \\ “(1 + B^k) − B^k” = k \cdot 1^{k-1} \]

que es la fórmula de Faulhaber.

EULER NUMBERS AND ZIGZAG ARRANGEMENTS

¿Cuál es el número, \( Z_n \), de arreglos en zigzag de 1, 2, ..., \( n \), es decir, arreglos en los que los números alternativamente suben y luego bajan? La Tabla 4.4 muestra los primeros valores de esto.

Tabla 4.4 Números de Euler y arreglos en zigzag.

Los puntos y comas separan los arreglos según su último número, \( r \). El número de arreglos en zigzag de 1, 2, ..., \( n \) con último número \( r \) es la entrada \( r \)-ésima en la fila \( n \)-ésima del triángulo en zigzag.

Figura Triángulo en zigzag.

El triángulo zigzag se calcula en el método "boustrophedon" insinuado por las flechas. Cada fila ahora se encuentra sumando alternadamente los números de la fila anterior, primero de izquierda a derecha y luego de derecha a izquierda.

La frontera izquierda contiene los números zigzag, \( Z_{2n} \), que tradicionalmente se llaman números de Euler; también se conocen como números secantes en vista de la fórmula:

\[ \sec x = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{5 \cdot x^4}{4!} + \frac{61 \cdot x^6}{6!} + \frac{1385 \cdot x^8}{8!} + \ldots \]

El borde derecho contiene los números zag o números tangentes, Z_2n+1, ya que:

tan x = x / 1! + 2·x³ / 3! + 16·x⁵ / 5! + 272·x⁷ / 7! + 7936·x⁹ / 9! + ...

El número total de arreglos de 1, 2, ..., n en los que hay exactamente k incrementos también ha sido nombrado en honor a Euler, pero para distinguirlo, lo llamamos el número euleriano, A(n, k):

A(n, k) = Σ_j=0^k (-1)^{j (n + 1)}C_j(k - j)ⁿ.

Números de Fibonacci

Leonardo de Pisa (ca. 1200) se preguntó cuántos pares de conejos se producirían en la generación n-ésima, comenzando con un solo par y suponiendo que cualquier par de conejos de una generación produce un par de conejos para la próxima generación y uno para la generación siguiente, y luego mueren.

Figura 4.22 Una pareja de conejos y su descendencia.

Figura 4.23 Formación de los números de Fibonacci.

Si hay f_n pares de conejos en la generación n, entonces:

f₁ = 1 (la pareja original), f₂ = 1 (su progenie inmediata), f_n+2 = f_n + f_n+1,

ya que obtenemos un par en la generación n + 2 por cada par en la generación n o en la generación n + 1 (ver Figuras 4.22 y 4.23).

f₀ = 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 ...

Estos son los llamados números de Fibonacci, ya que el padre de Leonardo era apodado Bonacci, y así Leonardo fue llamado Fibonacci (filio Bonacci = "hijo del hombre de buen carácter"). Los números de Fibonacci surgen de tantas maneras que es casi increíble: sus manifestaciones son tan numerosas como los conejos de Leonardo. Incluso existe una publicación matemática periódica, el Fibonacci Quarterly, dedicada enteramente al tema. Solo mencionaremos algunas de las propiedades más notables.

Los números de Lucas, l_n

l₀ = 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 843 1364 ...

(definidos por la misma regla, pero con un comienzo diferente) están relacionados con los números de Fibonacci de muchas maneras:

f_2n = f_nl_n, f₀ + f₁ + ... + f_n = f_n+2 - 1, l_n = f_n-1 + f_n+1, 2f_m+n = f_ml_n + f_nl_m.

Esta última relación, notada por Lucas, muestra que se pueden leer los números de Fibonacci del triángulo de Pascal (Figura 4.24).

Kepler señaló que las proporciones de números consecutivos de Fibonacci se acercan a 1.618... El límite exacto se llama el número áureo:

τ = (1 + √5) / 2 = 1.6180339887498948482...

Figura 4.24 Sumando diagonales en el triángulo de Pascal para obtener números de Fibonacci.

... lo cual era conocido por los griegos. Las proporciones de números consecutivos de Lucas tienden al mismo límite, mientras que la relación, l_n/f_n, entre los números correspondientes de Lucas y Fibonacci, tiende a √5. De hecho, existen fórmulas para f_n y l_n, en términos del número áureo, que daremos en el Capítulo 7.

El problema de los conejos de Leonardo, por supuesto, no es del todo realista. Sin embargo, los números de Fibonacci sí aparecen en la naturaleza. Puedes encontrarlos en piñas, cactus, conos de pino y girasoles: también controlan la disposición de las hojas de casi todas las plantas.

Filotaxis

El término botánico para la disposición de las hojas es filotaxis. Observa los floretes en el capítulo del girasol en la Figura 4.25. Parecen formar dos sistemas de espirales, que irradian desde el centro. Aunque parece simétrico, el número de espirales en el sentido de las agujas del reloj y en sentido contrario no son iguales. Si los cuentas con cuidado, encontrarás 55 espirales en sentido horario y 34 en sentido antihorario.

Figura 4.25 Girasol. (Cortesía de D.R. Fowler y P. Prusinkiewicz.)

Las piñas en la Figura 4.26 y la margarita en la Figura 4.27 exhiben un fenómeno similar. En la Figura 4.28, que es un trazado de la Figura 4.27, enfatizamos las 21 espirales que van en una dirección y las 34 que van en la otra al numerar los pétalos. Puedes ver tales espirales en muchas otras plantas, como coliflores (Figura 4.29), conos de pino y ciertos tipos de cactus. Por lo general, hay dos sistemas de floretes, semillas, ramas, pétalos o lo que sea, que van en direcciones opuestas, y los números de espirales en estos sistemas son números consecutivos de Fibonacci. ¿Por qué es esto así?

Describiremos lo que ocurre en una etapa temprana de la vida de la planta. Consideramos la punta de la planta como un cono y observamos la llegada inicial de "brotes" en este cono. El cono puede ser muy plano, como en el girasol (Figura 4.30(a)), o puntiagudo, como en el tallo (Figura 4.30(b)), o estar en algún punto intermedio, como en la piña de la Figura 4.30(c).

Figura 4.26 Espirales en piñas. (Foto cortesía de D.R. Fowler y A. Snider.)

Figura 4.27 Capitulum de margarita. (Generado por computadora por Deborah R. Fowler en una estación de trabajo IRIS utilizando un algoritmo de gramática L.)

Figura 4.28 Los floretes de la Figura 4.25 numerados para mostrar progresiones aritméticas con diferencias de Fibonacci 21 y 34.

Estos brotes pueden convertirse en semillas en una cápsula de semilla, ramas en una rama, pétalos de una flor, y así sucesivamente. Sin embargo, en esta etapa de su vida, un brote inhibe o repele a los demás. Esto puede deberse a que están apretados y físicamente se empujan entre sí, o tal vez estén compitiendo por nutrientes esenciales, o tal vez estén secretando deliberadamente alguna sustancia inhibidora.

Consideramos el crecimiento de nuestra planta como ocurriendo en la punta del cono. Dado que la punta avanza continuamente debido al nuevo crecimiento, una porción determinada de la planta se mueve constantemente hacia abajo y hacia afuera con respecto a la punta (Figura 4.31(a)).

Figura 4.29 La inflorescencia de una coliflor. (Foto cortesía de E. Thirian.)

Figura 4.30 Los "conos" de varias plantas.

Figura 4.31 Los brotes distribuyéndose en una planta cónica.

Oye, Brote, ¿A Dónde Crees Que Vas?

Numeraremos los brotes 0, 1, 2, ..., en el orden de su aparición. En la vista plana de la Figura 4.31(b), hemos colocado el brote número 0 en la posición de las 12 en punto y, como nació primero, ya ha llegado al perímetro. Los brotes 0 y 1 separan el cono en sectores más grandes y más pequeños. El brote 2 encuentra más fácil existir en el sector más grande, forzando al 3 a entrar en el más pequeño. ¿Dónde estarán estos brotes dentro de los sectores? Como el número 1 es más nuevo y más cercano a la punta que el número 0, probablemente sea más inhibidor, por lo que los números 2 y 3 estarán un poco más cerca de 0 que de 1. Los hemos colocado aproximadamente a las 9 en punto y a las 2 en punto en las Figuras 4.31(b) y (c). En esta etapa tenemos cuatro sectores, el mayor de los cuales está entre los brotes 1 y 2. Esperamos que el brote 4 nazca en este sector, ligeramente más cerca de 1, ya que es más reciente.

Este proceso puede parecer un poco tosco, pero en realidad es extremadamente estable. Supongamos, por ejemplo, que el brote número 1 nació más o menos exactamente opuesto al número 0, dejando dos sectores iguales abiertos para el número 2. El número 2 elegiría al azar uno de estos y, al crecer, se empujaría lejos del 0 y 1 (pero ligeramente más lejos del 1) y así agrandaría su propio sector. Fenómenos similares ocurren en etapas posteriores del proceso. El lector también debe comprender que la acción tiene lugar en una etapa muy temprana del desarrollo, de modo que probablemente se encuentre en un entorno uniforme en todas partes, tal vez solo a unos pocos milímetros de distancia.

La Figura 4.32 muestra lo que sucede cuando muchos brotes se han desarrollado. Esta vez hemos tomado una planta idealizada en la que el cono es casi cilíndrico y hemos desenrollado el cilindro. Por supuesto, una planta real no tendrá los brotes exactamente en los "lugares correctos", pero tampoco pueden estar muy lejos. Los elipses punteadas en la Figura 4.32 muestran cómo las esferas de influencia de los brotes 17, 20 y 22 dejan un agujero listo para el brote número 25. No nacerá demasiado lejos del centro de este agujero, y aun si está un poco fuera de posición, a medida que crezca se abrirá camino hacia el lugar correcto. Una vez que se establece el proceso, es muy raro que pierda su forma.

Figura 4.32 Los primeros veinticinco brotes.

En la versión perfecta del proceso, cada nuevo brote avanza con el mismo ángulo, siendo este el que divide un giro completo en una sección áurea. En nuestras figuras, este ángulo es 0.618 de una revolución en sentido antihorario, o 0.382 de una revolución en sentido horario.

¿Cuántas espirales hay? Estas espirales son muy subjetivas, dependiendo del observador. Tiendes a conectar brotes vecinos en una cadena. Así, en la Figura 4.32, probablemente vincules mentalmente los brotes en líneas con una diferencia de 3 que suben hacia la derecha, y líneas con diferencia de 5 que suben hacia la izquierda.

Por otro lado, si entrecierras los ojos para ver la figura desde abajo, puede resultarte más fácil organizar los brotes en líneas con diferencias de 8 o incluso de 13. Los números de Fibonacci sucesivos surgen como múltiplos de este ángulo básico que se acercan más a los números enteros de revoluciones. Los números de Fibonacci particulares que notas dependen de cuánto está comprimido el eje vertical en comparación con el horizontal. Las Figuras 4.33 y 4.34 son simplemente la Figura 4.32 con el eje vertical más comprimido, y divididas en dominios asignando cada punto a su brote más cercano.

Figura 4.33 Aquí la región n toca n ± 5, n ± 8 y n ± 13.

Figura 4.34 Aquí n toca n ± 8, n ± 13 y n ± 21.

En la Figura 4.32, los números 3, 5 y 8 son los más evidentes; en la Figura 4.33, con la escala multiplicada por un medio, 5 y 8 son más notorios; en la Figura 4.34, con la escala reducida a un quinto, 8, 13 (y 21) son los más obvios. En la parte inferior de la Figura 4.35, los números 3, 5 y 8 son prominentes; en la parte superior, los números 13 y 21 comienzan a predominar.

Antes de la próxima vez que comas una piña, intenta encontrar los números correctos.

Figura 4.35 La tasa variable de crecimiento acentúa diferentes números de Fibonacci. (Diagrama cortesía de Len Bos.)

El patrón es generalmente más fácil de seguir a mitad de camino hacia arriba, pero con un poco de cuidado puedes trabajar hacia la base e incluso identificar el número 0.

Las hojas en los tallos de las plantas exhiben remanentes de este proceso. Los brotes de hojas embrionarias en tales casos estaban originalmente apilados bastante apretados alrededor del tallo, como en nuestras figuras. En una fase posterior de crecimiento, el tallo se alarga, de modo que todo lo que queda del arreglo original es una tendencia de cada hoja a girar alrededor de 0.382 (o aproximadamente 2/5) de una revolución con respecto a su predecesora.

Los pétalos de una rosa exhiben el mismo fenómeno en la forma en que se superponen a sus predecesores, pero usualmente están tan apretados que la estructura es difícil de ver sin diseccionarlos. La Figura 4.36 muestra una flor en la que hemos numerado los pétalos individualmente.

Figura 4.36 La disposición de los pétalos de una flor.

Incluso podemos especular que el número exacto (cuando es pequeño) de pétalos en una flor podría determinarse mediante tal mecanismo. La siguiente tabla muestra en fracciones de una revolución el ángulo que define la posición del número de pétalo n (esto es, solo la parte fraccional de nτ) y también el ángulo más pequeño entre este pétalo y cualquiera de sus predecesores. Si este último fuera el único parámetro relevante, se estimaría la probabilidad de la aparición del número de pétalo n.

Los ángulos de posición son solo las partes fraccionarias de múltiplos sucesivos

0, 1.618..., 3.236..., 4.854...

del número áureo

$\tau = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.6180339887494\ldots$

Con esta visión, verá que el quinto pétalo (número 4) encuentra las cosas con la misma facilidad (0.146) que su predecesor, mientras que el sexto y los posteriores tienen un tiempo sustancialmente más difícil (0.090). Sin necesidad de contar, pero simplemente estableciendo un nivel dado de inhibición, una flor puede arreglarse para que el número total de pétalos sea un pequeño número de Fibonacci, pero no otro número.

No es tan fácil controlar las cosas para obtener un número mayor de Fibonacci exactamente, ya que la influencia del pétalo número 0 se vuelve rápidamente menos perceptible. De hecho, cuando una flor tiene un gran número de pétalos, el número exacto de pétalos generalmente depende del espécimen particular.

El lector debería tener cuidado de no forzar demasiado esta teoría, porque las plantas usan muchos otros mecanismos en su desarrollo. Algunas emiten pares de hojas simultáneamente en lados opuestos del tallo. Los pares sucesivos pueden luego rotar en 0.191 (la mitad de 0.382) de una revolución, pero son igual de propensos a rotar en un ángulo recto. Muchas flores tienen exactamente seis pétalos. Por ejemplo, en estas, suele ser el caso de que los pétalos están organizados como dos generaciones de tres pétalos cada una. Este efecto se muestra muy claramente en un narciso; de hecho, los primeros tres de sus "pétalos" son sépalos en lugar de pétalos.

Ocasionalmente, uno ve piñas de pino en las que el número de espirales son los dobles de números de Fibonacci. Presumiblemente, esto ocurrió porque los brotes 0 y 1 emergieron casi simultáneamente en lados opuestos y el proceso subsiguiente fue sesgado.

La próxima vez que coma una cabeza de coliflor, note que no solo tiene números de Fibonacci de espirales de floretes, sino que a menudo tiene espirales de subflósculos. Y en su caminata a través del bosque, fíjese en...

Figura 4.37: Hojas alrededor de un tallo.

...el tallo de una planta. Si dos hojas parecen estar una sobre la otra (Figura 4.37), probablemente están separadas por un número de Fibonacci.

La disposición de las ramas más grandes en un árbol es a menudo más aleatoria, pero hay algunas especies de árboles de montaña en las que la organización de Fibonacci puede verse en toda la estructura, incluso en las raíces, si excava hasta ellas.

Referencias

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La Primacía de los Primos

Aunque los aritméticos han estudiado los números primos durante miles de años, hoy en día existen más problemas abiertos que nunca antes. La mayoría de los enteros positivos pueden expresarse como el producto de números más pequeños; tales productos se llaman números compuestos.

4 = 2 × 2, 6 = 2 × 3, 8 = 2 × 4, 9 = 3 × 3, 10 = 2 × 5, 12 = 3 × 4

Son ejemplos de números compuestos.

El número 1 está en una categoría única y se llama la unidad. Los números restantes, mayores que 1, pero que no son producto de números más pequeños:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, ...

Se llaman números primos. Quizás el mayor misterio sobre los números primos es que, aunque están definidos de manera simple, se comportan de forma bastante irregular.

Eratóstenes (276-194 a.C.), bibliotecario de la gran biblioteca de Alejandría, fue una de las mentes más brillantes del mundo antiguo.

Quizás su logro más notable fue la medición de la circunferencia de la Tierra en una época en que pocas personas creían que era redonda, comparando las longitudes de las sombras de mástiles al mediodía en Alejandría y en Siene (Asuán). Pero los teóricos de números siempre lo recordarán por su maravilloso tamiz para los números primos. Al igual que el granjero separa el valioso trigo de la paja inútil, Eratóstenes utilizó su tamiz para separar los preciosos primos de sus compañeros compuestos comunes. Así es como funciona:

Escribe los números en orden, colocando el 1 en un cuadro para mostrar que es la unidad.

Encierra en un círculo el primer número restante, que es el 2, y tacha cada segundo número a partir de ahí:

Encierra en un círculo el siguiente número restante, que es el 3, y tacha todos los múltiplos subsiguientes de ese número:

Si continúas de esta manera en cada etapa, encerrando el primer número restante y tachando sus múltiplos superiores, los números que encierras serán los números primos (Figura 5.1).

Muchos números se tachan más de una vez. Por ejemplo, tachamos el 6 como múltiplo de 3, aunque ya había sido tachado como múltiplo de 2. De hecho, cuando estamos manejando un número primo p, sus múltiplos por números menores que p ya habrán sido tratados, y el primero que no haya sido tratado será

p veces p = p²

Cuando tratamos con 2 y 3, dejando 5 como el próximo primo, los números restantes:

5, 7, 11, 13, 17, 19, 23

por debajo de 5² = 25 ya se sabe que son primos.

El proceso de tamizado se facilita si escribes los números en una cuadrícula...

En la Figura 5.1, hemos dibujado solo los números impares menores de 361 = 19², y las diversas líneas rectas tachan los múltiplos de 3, 5, 7, 11, 13 y 17. Por lo tanto, los números restantes son 1 y los primos impares menores de 360.

Figura 5.1: Un tamiz de Eratóstenes.

Como resultado de un esfuerzo colaborativo durante el siglo XIX, se publicaron tablas que daban los números primos y los factores de otros números para cada millón sucesivo, hasta diez millones. Este trabajo culminó en 1909 con la publicación de la tabla de factores para los primeros diez millones de Derrick Norman Lehmer. En 1914, Lehmer también publicó una lista de números primos menores de diez millones, extraída de su tabla de factores.

Todas estas tablas se calcularon utilizando el tamiz de Eratóstenes. De hecho, el papel en el que Lehmer realizó sus cálculos estaba soportado por una mesa muy larga, equipada con rodillos en cada extremo, y para los primos más pequeños, creó plantillas de papel con agujeros que le permitían marcar sus múltiplos. Algunas de estas mesas tenían entre 15 y 20 pies de largo.

Es interesante notar que el aritmético austríaco J. P. Kulik (1773–1863) pasó 20 años de su vida preparando una tabla con 100 millones de números a mano, pero nunca se publicó, y el volumen para los números del 12,642,600 al 22,852,800 se ha perdido.

El número 1 solía contarse como un número primo; aparece, por ejemplo, en la lista de números primos de D. N. Lehmer. Pero hay tantas maneras en que difiere de los verdaderos números primos apropiados que los matemáticos ahora lo colocan en su clase especial. Por ejemplo, si comenzaras el proceso de tamizado con 1, ¡tendrías que tachar todo lo demás!

Aritmética Módulo p

Números Módulo p

Cuando p es primo, los números módulo p forman un campo fructífero para la investigación.

Está claro que módulo cualquier número puedes sumar, restar o multiplicar, pero lo fascinante de los primos es que también puedes dividir. Módulo un número primo, tiene sentido hablar de fracciones.

Fracciones Módulo p

Si trabajamos módulo 7, entonces

\(2 \times 4 \equiv 1\), \(3 \times 5 \equiv 1\), y \(6 \times 6 \equiv 1\).

Por lo tanto, es bastante correcto decir que

\(\frac{1}{2} \equiv 4\), \(\frac{1}{3} \equiv 5\), \(\frac{1}{4} \equiv 2\), \(\frac{1}{5} \equiv 3\), \(\frac{1}{6} \equiv 6\) (mod 7).

Ahora, dado que \(\frac{1}{5}\) es \(4\), \(\frac{3}{5}\) debería ser \(3 \times 4\), lo que es \(5\), y puedes verificar que

\(\frac{3}{5} \equiv 5\) (mod 7).

\(\frac{2}{3} \equiv 3\), \(\frac{3}{4} \equiv 6\), \(\frac{2}{5} \equiv 6\), \(\frac{3}{5} \equiv 2\), \(\frac{4}{5} \equiv 5\), \(\frac{5}{6} \equiv 2\) (mod 7).

¿Y qué pasa con \(\frac{1}{7}\)? Dado que 7 es lo mismo que 0 módulo 7, esto sería dividir por cero, ¡lo cual es ilegal!

Si estás trabajando módulo un número que no es primo, hay más cosas por las que no puedes dividir. Por ejemplo, módulo 15, cada múltiplo de 3 es uno de 0, 3, 6, 9 o 12, y dado que 1 no aparece, no hay un número \(\frac{1}{3}\) módulo 15, aunque 3 no sea 0 módulo 15.

Aquí hay una manera bastante fácil de encontrar los números \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), ..., \(\frac{1}{p}\), módulo \(p\). ¿Existe un número \(\frac{1}{8}\) módulo 101? El primer múltiplo de 8 que excede 101 es \(8 \times 13 = 104 \equiv 3 \mod 101\), y así podemos reducir el tamaño del problema:

\(8 \times 13 \equiv 3\).

Ahora el primer múltiplo de 3 después de 101 es \(3 \times 34 = 102 \equiv 1 \mod 101\), lo que implica que

\(3 \times 34 \equiv 1\),

y por lo tanto,

\(8 \times 13 \times 34 \equiv 1\).

Esto nos dice que la respuesta es:

\(\frac{1}{8} \equiv 13 \times 34 \mod 101\).

Esto es sorprendentemente fácil de resolver: sabemos que tres \(34\) son 1, así que doce \(34\) son 4 y trece \(34\) deben ser 38:

\(\frac{1}{8} \equiv 38 \mod 101\).

De la misma manera, podemos encontrar todos los números \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), ..., \(\frac{1}{100}\) módulo 101. Si quieres \(\frac{1}{68}\) módulo 101, comienzas con 68 y luego multiplicas repetidamente por el primer número que te permite restar 101 (y así obtener una respuesta más pequeña):

\(68 \to 136 \to 35 \to 105 \equiv 4 \to 104 \equiv 3 \to 102 \equiv 1\).

Por lo tanto, \(\frac{1}{68}\) es \(2 \times 3 \times 26 \times 34\), que es simplemente \(2 \times 26 = 52\), dado que ya sabemos que \(3 \times 34 \equiv 1\).

\(\frac{1}{68} \equiv 52 \mod 101\).

¹Módulo un número no primo, este método a veces funciona, pero también puede fallar al llegar a cero. Por ejemplo, módulo 102,

\(68 \to 136 \equiv 34 \to 102 \equiv 0,\) \(5 \to 105 \equiv 3 \to 102 \equiv 0.\)

De hecho, no existe un número \(\frac{1}{68}\) módulo 102, pero sí existe un número \(\frac{1}{5}\), a saber, 41.

¿Se Puede Descomponer un Número en Factores Primos de Más de una Manera?

El famoso libro de Euclides, Los Elementos de Geometría (ca. 300 a.C.), no solo trata de geometría, sino que también proporciona (en el Libro IX) una base teórica para la teoría de números. Su descubrimiento más fundamental sobre los números primos equivale a la afirmación de que cada número se factoriza de una manera única en un producto de primos.

Los factores se dividen de manera única en números primos. Esto no es del todo obvio, y podrías pensar que no es cierto para 1001, ya que:

\(1001 = 7 \times 143 = 11 \times 91.\)

La explicación es sencilla. Aunque 7 y 11 son primos, 143 \(= 11 \times 13\) y 91 \(= 7 \times 13\) no lo son, y la única factorización de 1001 en números que son todos primos es:

\(1001 = 7 \times 11 \times 13 = 11 \times 7 \times 13 = \ldots\)

(el orden no importa). Es fácil demostrar que esto siempre ocurre si conoces el:

Porque si \(n = a \times b \times c \times \ldots\) y \(p\) no divide ninguno de \(a, b, c, \ldots,\) entonces, módulo \(p,\) hay números \(1/a, 1/b, 1/c, \ldots,\) y por lo tanto, hay un número \(1/n = 1/a \times 1/b \times 1/c \times \ldots,\) lo que demuestra que \(n\) no puede ser divisible por \(p.\)

El principio de Euclides es lo que impide que un número tenga dos factorizaciones realmente diferentes. Esto se debe a que cualquier primo en una factorización debe dividir algún primo en la otra, por lo que debe ser ese mismo primo. Podemos cancelar este primo y repetir el argumento. Las dos factorizaciones solo pueden diferir en el orden en que están dispuestos los primos.

SIEMPRE HAY NUEVOS PRIMOS

No es obvio que la secuencia de números primos continúe indefinidamente. Allí puede llegar una etapa, tal vez, en la que el proceso de cribado se detiene porque todos los números restantes han sido tachados. Sin embargo, Euclides también demostró que los primos no tienen fin.

Imagina que todos los primos que conoces son:

\(2, 3, 5, 7, 11, 13.\)

Entonces, demostraremos que debe haber otro primo. Multiplica tus primos y añade 1 para obtener un número mayor:

\(2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 + 1 = 30031.\)

Este número ciertamente es mayor que 1. ¿Cuál es el número más pequeño, mayor que 1, que lo divide exactamente? Este debe ser un primo; de lo contrario, uno de sus factores sería un candidato más pequeño. Pero no puede ser uno de los primos anteriores, \(2, 3, 5, 7, 11\) o \(13,\) ya que cada uno de estos deja un residuo 1 cuando se divide entre 30031. Así que hemos encontrado un nuevo primo.

A veces, el número grande aquí ya es primo, pero a veces, como en el ejemplo anterior, no lo es:

\(1 + 1 = 2\) es primo
\(2 + 1 = 3\) es primo
\(2 \times 3 + 1 = 7\) es primo
\(2 \times 3 \times 5 + 1 = 31\) es primo
\(2 \times 3 \times 5 \times 7 + 1 = 211\) es primo
\(2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 + 1 = 2311\) es primo

pero

\(2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 + 1 = 30031 = 59 \times 509\)

y

\(2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17 + 1 = 510511 = 19 \times 97 \times 277,\)

mientras que

\(2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19 + 1 = 9699691 = 347 \times 27953.\)

Los próximos números primos de la forma \(2 \times 3 \times 5 \cdots \times p + 1\) son para \(p = 31, 59, 79, 101, 263, 257.\)

Aunque sabemos desde Euclides que los números primos pueden ser tan grandes como se desee, pasó bastante tiempo antes de que los matemáticos pudieran señalar explícitamente algunos números muy grandes.

Números de Mersenne

Antes del auge de las revistas científicas, había varias personas interesadas en comunicar cualquier descubrimiento científico del que se enteraran a una gran cantidad de corresponsales. Marin Mersenne (1588–1648) prestó este servicio a los matemáticos de su época. De hecho, gran parte del trabajo de Fermat fue "publicado" por primera vez a través de las cartas de Mersenne.

En una carta a Frenicle de Bessy, Mersenne discutió las posibilidades de números primos de la forma \(2^n - 1\) y realizó la sorprendente afirmación de que \(2^n - 1\) es primo para \(n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257\) y para ningún otro \(n\) menor que 257. La afirmación de Mersenne despertó un gran interés porque los números son tan grandes que durante los siguientes 200 años nadie pudo confirmarla ni negarla. Este interés continúa hoy, y los números de la forma \(2^n - 1\) han sido nombrados en honor a Mersenne. ¿Tenían Mersenne o Fermat técnicas desconocidas para alguien más?

En 1876, Édouard Lucas logró probar que \(2^{127} - 1\) era un número nnimo, y este permaneció como el mayor número primo conocido durante más de 70 años. Sin embargo, durante este período se encontraron varios errores en la afirmación de Mersenne, y finalmente quedó claro que no había sido más que una conjetura educada.

Es fácil ver que \(2^n - 1\) definitivamente no es primo si \(n\) en sí mismo no es primo. La expansión binaria de \(2^{15} - 1,\) por ejemplo, es:

\(111 \, 111 \, 111 \, 111 \, 111,\)

lo que obviamente es divisible por los números binarios \(111 = 2^3 - 1\) y \(11111 = 2^5 - 1,\) y por lo tanto no puede ser primo.

Sin embargo, hay números primos \(p\) para los cuales \(2^p - 1\) no es primo. Por ejemplo:

\(2^{11} - 1 = 2047 = 23 \times 89.\)

En decimal, o

\(11111111111 = 10111 \times 1011001\) en binario. Existen técnicas especiales que hacen relativamente fácil probar si un número \(2^p - 1\) es primo y hay una buena posibilidad de que, al leer esto, el mayor primo conocido sea un número de Mersenne. Por ejemplo, en 1951, Miller y Wheeler tuvieron el récord con \(180(2^{127} - 1)^2 + 1,\) y alrededor de 1989–1992, J. Brown et al. lo mantuvieron con:

\(391581 \times 2^{216193} - 1.\)

Tabla 5.1 Números primos de Mersenne \(2^p - 1\) (o sus cantidades de dígitos decimales) con \(p < 100,000\). De estos \(p\), Mersenne omitió 61, 89 y 107, y colocó incorrectamente 67 y 257.

NÚMEROS PERFECTOS

Los antiguos estaban particularmente intrigados por las ecuaciones:

\(6 = 1 + 2 + 3\)
\(28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14\)

que muestran que tanto 6 como 28 son la suma de todos los números más pequeños que los dividen exactamente. Los llamaron perfectos. Fue sugerido...

Se sugirió que Dios creó el mundo en 6 días porque el número 6 era un número perfecto.

Dos mil años antes de Mersenne, Euclides (Libro IX, Prop. 36) descubrió una interesante conexión entre los números perfectos y lo que ahora llamamos números primos de Mersenne.

Por ejemplo, 31 es un primo de Mersenne, y el número triangular 31 es \( 16 \times 31 = 496 \), cuyos divisores más pequeños son:

1, 2, 4, 8, 16, con suma 31

31, \( 2 \times 31, 4 \times 31, 8 \times 31 \), con suma \( 15 \times 31 \)

Total \( 16 \times 31 \).

Lo mismo ocurre con todos los primos de Mersenne.

¿Hay otros números perfectos? El gran matemático suizo Leonhard Euler (1707–1783) demostró que todos los números perfectos pares son de la forma de Euclides. Todo lo que sabemos de los impares es que deben tener al menos 300 dígitos decimales y muchos factores. ¡Probablemente no hay ninguno!

Números de Fermat

¿Cuáles de los números

11, 101, 1001, 100001, 1000001...

son primos? Bueno, 11 divide los números que son 1 más que las potencias impares de 10:

1001 = \( 11 \times 91; \, 100001 = 11 \times 9091; \, 10000001 = 11 \times 9090901 \); ...

y 1001 divide los que son 1 más que las potencias impares de 100:

1000001 = \( 101 \times 9901; \, 100000000001 = 101 \times 99009901; \)...

y así sucesivamente. Por lo tanto, los únicos que tienen alguna posibilidad de ser primos son aquellos sin factores impares en el exponente. De hecho,

\( 10^1 + 1 = 11 \) es primo, y

\( 10^2 + 1 = 101 \) es primo, pero

\( 10^4 + 1 = 73 \times 137 \) es compuesto, como lo son

\( 10^8 + 1 = 17 \times 5882353, \)

\( 10^{16} + 1 = 353 \times 449 \times 641 \times 1409 \times 69857, \)

\( 10^{32} + 1 = 19841 \times 976193 \times 6187457 \times 834427406578561, \)

\( 10^{64} + 1 = 1265011073 \times 15343168188881937818369 \)

\( \times 5152175252651232674478699068185873, \)

y \( 10^{128} + 1 = 257 \times 15361 \times 453377 \times \) un primo de 116 dígitos.

De hecho, no sabemos si esta secuencia contiene algún primo que no sea 11 y 101.

Podemos realizar tales cálculos en cualquier base. Sigue siendo cierto que:

En 1640, Pierre de Fermat conjeturó que los 2 ejemplos de base 2 eran todos primos. Hoy los números \( 2^{2^n} + 1 \) se llaman números de Fermat. De hecho, como Fermat sabía,

\[ 2^{1} + 1 = 3,\quad 2^{2} + 1 = 5,\quad 2^{4} + 1 = 17,\quad 2^{8} + 1 = 257,\quad \text{y}\quad 2^{16} + 1 = 65537 \]

son todos primos, pero en 1732, Euler descubrió que el siguiente número de Fermat es compuesto:

\[ 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \times 6700417. \]

En 1880, F. Landry, a la edad de 82 años, mostró que

\[ 2^{64} + 1 = 274177 \times 67280421310721, \]

y en 1975 Brillhart y Morrison encontraron que

\[ 2^{128} + 1 = 59649589127497217 \times 5704689200685129054721. \]

En 1981, Richard Brent y John Pollard factorearon

\[ 2^{256} + 1 = 1238926361552897 \times 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321. \]

Incluso antes de que se realizaran estas factorizaciones, se sabía que estos números eran compuestos, como se menciona (ver la página 148).

Actualmente, \(2^{224} + 1\), con 5050446 dígitos, es el primero en duda.

Sabemos que Euclides estaba interesado en los números perfectos, cuya teoría involucra los primos de Mersenne, pero no sabemos si alguna vez pensó en los números de Fermat. ¡Debería haberlo hecho!

El gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) demostró como joven que si \(p\) es un número primo de Fermat, entonces un polígono regular con \(p\) lados puede construirse con regla y compás, siguiendo las reglas de Euclides. Gauss dio construcciones para el triángulo y el pentágono, pero antes de Gauss nadie había construido polígonos más grandes. Se dice que Gauss solicitó que un polígono regular de 17 lados fuera inscrito en su lápida. Esto no se hizo, pero hay un polígono regular de 17 lados en un monumento a Gauss en Braunschweig.

Es fácil construir un polígono regular de 85 lados usando construcciones para el pentágono y el polígono de 17 lados, y ya que cualquier ángulo puede ser bisecado, puedes construir polígonos regulares de 170, 340 lados, y, más generalmente,

\[ 2^k p q r \cdots \text{-gons}, \]

donde \(p\), \(q\), \(r\),... son primos de Fermat distintos. Gauss afirmó que estos eran los únicos polígonos regulares construibles con regla y compás.

Los únicos polígonos regulares conocidos con un número impar de lados son aquellos para los cuales el número divide

\[ 2^{32} - 1 = 3 \times 5 \times 17 \times 257 \times 65537 = 4294967295. \]

Los divisores son

1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529207, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295.

William Watkins notó que puedes obtener sus expansiones binarias leyendo las primeras 32 filas del triángulo de Pascal módulo 2:

Así, el número binario

1 es 1
11 es 3
101 es 5
1111 es 15
10001 es 17
...

Es bastante probable que no existan más polígonos impares de este tipo, porque parece probable que

\[ 3, \, 5, \, 17, \, 257 \, \text{y} \, 65537 \]

son los únicos números de Fermat primos.

Podemos demostrar que \(2^{32} + 1\) es compuesto, utilizando congruencias módulo \(p = 641\). Dado que

\[ p = 625 + 16 = 5^4 + 2^4 \, \text{y} \, 2^4 = -5^4, \, \text{módulo} \, p \]

\[ 5 \times 128 = 1 \, \text{y} \, 2^4 = -5^4, \, \text{módulo} \, p \]

Entonces,

\[ 2^{32} = 2^4 \times 2^{28} = -5^4 \times 128^4 = -(-1)^4 = -1. \]

¿Cómo puede alguien demostrar que los números no son primos sin ser capaz de encontrar ningún factor? Otro de los descubrimientos de Fermat proporciona la respuesta.

Prueba de Fermat para primos

Fermat demostró que cualquier número primo impar \(p\) debe satisfacer:

Entonces, si un número no satisface esta condición, no puede ser primo. Explicaremos por qué la prueba funciona en el Capítulo 6, pero aquí la usaremos para decir que 91 no es primo. Si lo fuera, entonces, según la prueba, \(2^{90}\) sería congruente a 1, módulo 91. Pero, trabajando con módulo 91,

\[ 2^6 = 64 \equiv -27, \]

entonces

\[ 2^{12} = (-27)^2 = 729 \equiv 1 \]

ya que \(8 \times 91 = 728\).

\[ 2^{84} = (2^{12})^7 = 1^7 = 1 \quad \text{y} \quad 2^{90} = 2^84 \times 2^6 = 1 \times (-27), \]

lo cual no es congruente a 1.

La prueba de Fermat parece más difícil que los cálculos necesarios para encontrar la factorización \(91 = 7 \times 13\), pero para números grandes la situación se invierte. Para encontrar los factores de un número de 50 dígitos, el método ingenuo podría necesitar más de \(10^{23}\) divisiones de prueba, lo que tomaría miles de años, incluso en una supercomputadora. Pero la prueba de Fermat puede demostrar que un número es compuesto utilizando solo unos pocos cientos de multiplicaciones de números de 50 dígitos, lo que se puede hacer hoy en una fracción de segundo.

Con una computadora, ahora es bastante fácil probar la primalidad de números, pero factorizar sigue siendo difícil (aunque hay métodos mucho más rápidos que la división de prueba).

El número 341 \(= 11 \times 31\) pasa la prueba de Fermat para la base 2, ¡aunque no es primo! Usando congruencias, esto es fácil. Dado que

\[ 2^5 = +1 \, (\text{mod} \, 31), \]

\[ 2^5 = -1 \, (\text{mod} \, 11), \]

entonces

\[ 2^{10} = +1 \, (\text{mod} \, 11 \, \text{y} \, 31). \]

Podemos deducir de esto que \(2^{10}\) es congruente a 1 (módulo 341) y, por lo tanto, también \(2^{340}\).

Entonces, la prueba de Fermat es necesaria para la primalidad, pero no es suficiente. Dado que \(2^{340} = 56\) (mod 341), la base 3 muestra que 341 es compuesto, pero hay algunos números especiales, los números de Carmichael, que son compuestos, aunque satisfacen la prueba de Fermat para muchas bases.

El número de Carmichael más pequeño es 561, que satisface la prueba de Fermat para todas las bases \(b\) no divisibles por 3, 11 o 17. Esto se debe a que \(b^{560}\) es una potencia de cada uno de \(b^2, b^{10}\) y \(b^{16}\), que, según la prueba de Fermat, son congruentes a 1 módulo 3, 11 y 17, respectivamente.

Sir John Wilson (1741–1793) dio otra prueba para primos:

A diferencia de la prueba de Fermat, la de Wilson es tanto necesaria como suficiente para primos.

¿Qué tan frecuentes son los números primos?

Hasta \(10\), hay 4 primos, por lo que 1 de cada 2.5 números es primo:

Parece que, hasta \(10^7\), aproximadamente 1 de cada \(2.3 \ln n\) números es primo. ¿Qué sucede en general?

La ley logarítmica de Legendre

El logaritmo natural de \(N\) es \(2.30258509 \ldots\) veces el logaritmo en base 10 de \(N\) y es aproximadamente igual al número armónico \(N\)-ésimo (ver el Capítulo 9):

\[ H_N = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{N}. \]

En 1896, casi un siglo después de Adrienne Marie Legendre (1752–1833), Jacques Hadamard y Charles-Jacques de la Vallée-Poussin adivinaron la fórmula aproximada \(N/\ln N\) para el número de primos hasta \(N\).

Una pequeña mejora

Gauss adivinó que la idea de Legendre debería modificarse ligeramente:

Esto lleva a una pequeña mejora, \(Li(N)\), en la fórmula de Legendre. La conjetura de Gauss, \(Li(N)\), es el área sombreada bajo la gráfica de \(1/\ln N\) en la Figura 5.2.

Figura 5.2. La conjetura de Gauss.

El refinamiento notable de Riemann

En 1859, el gran matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) dio una estimación mucho mejor.

El número de primos hasta \(N\) es aproximadamente:

\[ R(N) = Li(N) - \frac{1}{2}Li(N^{1/2}) - \frac{1}{3}Li(N^{1/3}) - \frac{1}{5}Li(N^{1/5}) + \frac{1}{6}Li(N^{1/6}) - \ldots \]

El coeficiente de \( \frac{1}{n}Li(N^{1/n}) \) es el \(n\)-ésimo número de Möbius, \( \mu(n) \), que es 0 si \(n\) tiene un factor repetido, y \(1\) o \(-1\) si tiene un número par o impar de factores primos.

Ahora se sabe que la conjetura de Gauss, \(Li(N)\), es una mejor estimación que la de Legendre, \(N/\ln N\), y parece que el refinamiento de Riemann es aún mejor. De hecho, bajo algunas suposiciones plausibles, Rubinstein y Sarnak han demostrado que es mejor en aproximadamente el 99.07% de los casos.

Sin embargo, en 1914, John Edensor Littlewood ya había demostrado que ocasionalmente el refinamiento de Riemann es peor que la conjetura de Gauss, y su estudiante, Skewes, mostró que esto tenía que suceder antes de:

\[ 10^{10^{10^{34}}} \quad \text{(el número de Skewes).} \]

No conocemos ningún valor particular de \(N\) para el cual esto suceda, pero Sherman Lehman ha probado que ocurre al menos para \(10^{500}\) números con 1166 o 1167 dígitos decimales.

¿Qué tan buenas son las conjeturas?

La Tabla 5.2 compara las conjeturas de Legendre, Gauss y Riemann:

Tabla 5.2: Errores (al entero más cercano) en las fórmulas para \( \pi(N) \).

¿Qué números son suma de dos cuadrados?

Fermat descubrió el fascinante hecho de que un número primo \(p\) puede escribirse como suma de dos cuadrados si \(p+1\) no es divisible por 4. La expresión es entonces única; por ejemplo:

\[ 2 = 1^2 + 1^2, \quad 5 = 2^2 + 1^2, \quad 13 = 3^2 + 2^2, \quad 17 = 4^2 + 1^2, \] \[ 29 = 5^2 + 2^2, \quad 37 = 6^2 + 1^2, \quad 41 = 5^2 + 4^2, \ldots \]

Pero 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, ... no son suma de dos cuadrados. Esto último es fácil de ver: los cuadrados dejan un residuo de 0 o 1 en división por 4.

Por lo tanto, la suma de dos de ellos solo puede dejar un residuo de 0, 1 o 2 al dividir por 4 (Capítulo 2). La mayor parte de la prueba del hecho de Fermat se basa en una propiedad de los números primos complejos de Gauss, y la explicaremos en el Capítulo 8.

Para ver si un número positivo arbitrario es la suma de dos cuadrados, descomponlo en factores primos de la forma:

\[ p^a q^b r^c \ldots \]

Entonces es la suma de dos cuadrados solo si \(p^a + 1\), \(q^b + 1\), \(r^c + 1\), ... no son divisibles por 4.

Por ejemplo, para 1000 \(= 2^3 \cdot 5^3\), miramos \(2^1 + 1 = 1 + 1 = 9\) y \(5^3 + 1 = 126\). Ninguno de estos es divisible por 4, por lo que 1000 no es la suma de dos cuadrados. ¿Puedes encontrarlos? Observa que la representación ya no es necesariamente única: \(1000 = 900 + 100 = 676 + 324\).

Por otro lado, \(999 = 3^3 \cdot 37\) y \(3^3 + 1 = 28\) es divisible por 4, por lo que \(999\) no es la suma de dos cuadrados. Tampoco lo es \(1001 = 7 \times 11 \times 13\), ya que \(7 + 1\) ni \(11 + 1\) ni \(13 + 1\) son divisibles por 4.

Catorce fracciones fructíferas

¿Existe una fórmula simple que dé todos los primos? La mayoría de los matemáticos dirían que no, aunque algunos de ellos han ideado fórmulas artificiales que hacen el trabajo (generalmente basadas en el test de Wilson).

Aquí está nuestro mejor esfuerzo en esta línea, aunque no es exactamente una fórmula:

Figura 5.3: Catorce fracciones fructíferas para producir primos.

Comienza con el número 2 y luego multiplícalo repetidamente por las fracciones de la Figura 5.3, lo que dará lugar a una respuesta mucho más amplia. Las letras sobre las flechas de la Figura 5.4 indican qué fracción de estas se está utilizando:

Figura 5.4: Los primeros quince pasos producen \(2^x\), siendo 2 el primer primo.

Nota

Ahora se conoce lo siguiente acerca de las factorizaciones de los números de Fermat del noveno al decimotercer términos:

• \(F_9 = 2424833 \times 7455602825647884208337395736200454918783366342657_{p_{99}}\)
• \(F_{10} = 45592577 \times 6487031809 \times 4659775785220018543265460743067778192897_{p_{252}}\)
• \(F_{11} = 319489 \times 974849 \times 167988556341764073517 \times 305688190045843893205135_{p_{564}}\)
• \(F_{12} = 114689 \times 26017793 \times 63766529 \times 190274191361 \times 1256132134125569_{p_{1187}}\)
• \(F_{13} = 2710954639361 \times 263648887757151241313 \times 3603109844542291969 \times 31915460202805516432207627513_{p_{2931}}\)

Referencias

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Fermat's work appears in Book IX of Euclid.

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Más Fructíferos Frutos de las Fracciones

Hasta ahora, nos hemos concentrado en los números enteros. Pero hay muchos otros números, como 2/3, 4/7, ..., que también se comportan de maneras muy interesantes. Los llamaremos simplemente fracciones, aunque los matemáticos suelen referirse a ellas como números racionales. Este curioso nombre proviene del hecho de que un número racional se define como la razón entre dos números enteros.

Esperamos que ya estén familiarizados con los usos más mundanos de las fracciones, por lo que el verdadero tema de este capítulo es cómo las fracciones pueden usarse para arrojar luz sobre algunas propiedades sutiles de los números enteros.

Cada fracción tiene muchas formas: \[ \frac{4}{6} = \frac{2}{3} = \frac{6}{9} = \frac{202}{303} = \ldots \]

La regla de oro para las fracciones es que puedes multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número sin afectar el valor de la fracción. Una fracción sin tal factor común está en su forma más simple. La regla de oro también permite sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones:

\[ \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}, \quad \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}, \quad \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{8}{3}}{1} = \frac{8}{3}. \]

Fracciones de Farey y Círculos de Ford

El geólogo británico Farey¹ sugirió ordenar todas las fracciones propias con denominador (más bajo) hasta cierto punto, en orden de magnitud. Por ejemplo, la sexta serie de Farey es:

\[ 0, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, 1. \]

Estas series tienen muchas propiedades aritméticas interesantes. Por ejemplo, si \(\frac{2}{3}\) y \(\frac{3}{4}\) son fracciones consecutivas en la serie, entonces los "productos cruzados", \(a \times d\) y \(b \times c\), son números consecutivos.

Así, \(\frac{3}{5}\) y \(\frac{2}{3}\) dan los números consecutivos \(3 \times 3 = 9\) y \(5 \times 2 = 10\). Series de Farey más altas se obtienen insertando fracciones: la primera fracción que se inserta entre \(\frac{a}{c}\) y \(\frac{b}{d}\) es siempre el promedio mediado \(\frac{a+b}{c+d}\). Así, para obtener la séptima serie de Farey desde la sexta, se inserta:

\[ \frac{a+b}{c+d}. \]

Advertencia: formar la mediatriz no es la forma de sumar fracciones, a menos que estés calculando promedios de bateo.

Lester R. Ford encontró una representación interesante para las series de Farey. Sobre cada número racional, \( \frac{p}{q} \), en la línea real, dibujamos un círculo de diámetro \( \frac{1}{q^2} \), como en las figuras 6.1, 6.2 y 6.3. Resulta que estos círculos de Ford nunca se superponen, pero a menudo se tocan. De hecho, los círculos en \( \frac{a}{c} \) y \( \frac{b}{d} \) se tocan exactamente cuando \( ad \) y \( bc \) son números enteros consecutivos, y el círculo más grande entre ellos corresponde a la fracción mediatriz, \( \frac{a+b}{c+d} \).

Figura 6.1: Círculos de Ford correspondientes a enteros, mitades y tercios.

Figura 6.2: Ampliación de la Figura 6.1, mostrando la mitad de la serie de Farey de orden 7.

Figura 6.3: Dos círculos de Ford y su mediatriz.

Números Totient de Euler

Mientras estamos en el tema, preguntemos cuántas de las fracciones \( \frac{0}{n}, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, \frac{n-1}{n} \) tienen como denominador \( n \) el menor posible. Entonces, para \( n = 12 \), estas fracciones se simplifican a

\( \frac{0}{1}, \frac{1}{12}, \frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{5}{12}, \frac{1}{2}, \frac{7}{12}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{11}{12} \),

así que solo las cuatro fracciones \( \frac{1}{12}, \frac{5}{12}, \frac{7}{12} \) y \( \frac{11}{12} \) realmente necesitan ser escritas como doceavos. Aquí hay una pequeña tabla para denominadores pequeños:

El número totiente de Euler

Para un n general, el número de estas fracciones se llama el número totiente de Euler, \(\phi(n)\). Nuestra tabla muestra que:

\[ \phi(1) = 1, \quad \phi(2) = 1, \quad \phi(3) = 2, \quad \phi(4) = 2, \quad \phi(5) = 4, \quad \phi(6) = 2, \quad \phi(7) = 6, \quad \phi(8) = 4, \quad \phi(9) = 6, \quad \phi(10) = 4. \]

Parece que cada número totiente que ocurre, ocurre al menos dos veces, pero nadie ha logrado probar esto aún. Si hay alguno que no ocurre dos veces, debe tener más de 10,000 dígitos.

¿Cuál es el centésimo número totiente, \(\phi(100)\)? Una fracción con denominador 100 se simplificará solo si el numerador no es divisible por 2 o 5. La mitad de los casos son impares, y 4 de cada 5 del resto no se dividen entre 5, por lo que:

\[ \phi(100) = 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = 40 \]

es el número de fracciones propias no cancelables con denominador 100.

De manera similar, el número totiente n-ésimo, \(\phi(n)\), es:

\[ n \times \left(1 - \frac{1}{p}\right) \times \left(1 - \frac{1}{q}\right) \times \left(1 - \frac{1}{r}\right) \times \ldots, \]

donde \(p, q, r, \ldots\) son los diferentes divisores primos de \(n\).

Organicemos las 12 fracciones \(0/12, 1/12, \ldots, 11/12\) según su denominador después de simplificarlas:

Figura 6.5 Fracciones y sus números totientes.

¿Cuánto mide una serie de Farey?

La respuesta es obviamente que la serie de Farey de orden \(n\) tiene longitud:

\[ 1 + \phi(1) + \phi(2) + \phi(3) + \ldots + \phi(n - 1) + \phi(n) \]

(el 1 inicial proviene del hecho de que contamos \(0/1\) y \(1/1\)).

No hay una fórmula simple para esta suma particular de números totientes, pero se sabe que la respuesta es aproximadamente:

\[ 3 \frac{n^2}{\pi^2} \approx 0.3039635509 \times n^2 \]

y que la aproximación mejora proporcionalmente a medida que \(n\) se hace más grande. Por ejemplo, la décima serie de Farey tiene longitud 33, en comparación con \(3 \times 100/\pi^2 \approx 30.4\), y la centésima tiene longitud 3045, en comparación con \((3 \times 10^4)/\pi^2 \approx 3039.6\).

Las fracciones se transforman en decimales

Todo aquel que haya jugado con números debe haber notado las relaciones entre las fracciones con el mismo denominador:

\[ \frac{1}{7} = 0.1428571428571428 \ldots \]

\[ \frac{2}{7} = 0.2857142857142857 \ldots \]

\[ \frac{3}{7} = 0.4285714285714285 \ldots \]

\[ \frac{4}{7} = 0.5714285714285714 \ldots \]

\[ \frac{5}{7} = 0.7142857142857142 \ldots \]

\[ \frac{6}{7} = 0.8571428571428571 \ldots \]

Un único ciclo de dígitos repetidos funciona para las seis fracciones, como se muestra en la Figura 6.4(a). Sin embargo, cuando llegamos a los treceavos:

\[ \frac{1}{13} = 0.0769230769230769 \ldots \]

\[ \frac{2}{13} = 0.1538461538461538 \ldots \]

\[ \frac{3}{13} = 0.2307692307692307 \ldots \]

... encontramos que hay dos ciclos diferentes (Figuras 6.4(b) y (c)).

Figura 6.4 Varios ciclos representados por cada fracción.

Todo el mundo sabe que también hay dos ciclos diferentes para el denominador 3:

\[ \frac{1}{3} = 0.333333 \ldots, \quad \frac{2}{3} = 0.666666 \ldots \]

y posiblemente conoces los cinco ciclos diferentes para 11:

\[ \frac{1}{11} = 0.09090 \ldots, \quad \frac{2}{11} = 0.18181 \ldots, \quad \frac{3}{11} = 0.27272 \ldots, \quad \frac{4}{11} = 0.36363 \ldots, \quad \frac{5}{11} = 0.45454 \ldots \]

y que \(\frac{6}{11}, \frac{7}{11}, \frac{8}{11}, \frac{9}{11}, \frac{10}{11}\) son iguales, cada una comenzando un dígito después. La tabla 6.1 muestra los ciclos para todos los otros primos menores de 100.

¿Por qué las fracciones para un denominador dado se agrupan en ciclos como estos? Algunas respuestas son fáciles, y otras todavía son difíciles de entender.

Es fácil ver cómo ocurren los ciclos: si multiplicamos la expansión de \( \frac{1}{7} \) por 10, obtenemos:

\[ 1.428571428 \ldots = 10 \left( \frac{1}{7} \right) = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \]

Y así, de hecho:

\[ 0.428571\ldots = \frac{3}{7}, \]

y:

\[ 14.285714285 \ldots = \frac{100}{7} = 14 \frac{2}{7}. \]

Las fracciones cíclicas en decimales

Se puede observar que esto es así porque:

\[ 10 \equiv 3 \mod 7, \quad 10^2 \equiv 2 \mod 7, \quad 10^3 \equiv 6 \mod 7, \]

\[ 10^4 \equiv 4 \mod 7, \quad 10^5 \equiv 5 \mod 7, \quad 10^6 \equiv 1 \mod 7. \]

Es decir, \(1/7\) tiene la misma parte fraccional que \(3/7\), \(100/7\) tiene la misma parte fraccional que \(4/7\), y así sucesivamente.

En otras palabras, obtienes los numeradores en el orden cíclico:

\[ 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, \ldots, \]

simplemente multiplicando repetidamente por 10 módulo 7.

La razón por la que las fracciones con denominador 13 tienen más de un ciclo es que, módulo 13, las potencias de 10 se repiten con periodo 6:

\[ 10^0 = 1, \quad 10^1 = 10, \quad 10^2 = 9, \quad 10^3 = 12, \quad 10^4 = 3, \quad 10^5 = 4, \quad 10^6 = 1, \]

y por lo tanto, el primer ciclo no contiene todas las fracciones.

Obviamente, para un denominador \(p\),

Los ciclos en la Tabla 6.1, para un denominador dado, tienen todos la misma longitud. Por ejemplo, el denominador 73 da nueve ciclos de 8:

\[ \frac{1}{73} = 0.01369863\ldots, \quad \frac{2}{73} = 0.02739726\ldots, \quad \frac{3}{73} = 0.04109589\ldots, \]

\[ \frac{4}{73} = 0.05479452\ldots, \quad \frac{5}{73} = 0.06849315\ldots, \quad \frac{6}{73} = 0.08219178\ldots, \]

\[ \frac{9}{73} = 0.12328767\ldots, \quad \frac{11}{73} = 0.15068493\ldots, \quad \frac{12}{73} = 0.16438356\ldots. \]

Tabla 6.1 Ciclos para fracciones con denominadores primos (en negrita).

¿Por qué ocurre esto? Bueno, sumar copias de un decimal periódico no puede hacer que la longitud del ciclo sea mayor (aunque podría hacerla más corta), por lo que, por ejemplo, la longitud para \( \frac{20}{73} \) no es mayor que para \( \frac{1}{73} \), ya que:

\[ \frac{1}{73} + \frac{1}{73} + \cdots + \frac{1}{73} = \frac{20}{73}, \]

pero también:

\[ \frac{20}{73} + \frac{20}{73} + \frac{20}{73} + \cdots + \frac{20}{73} = \frac{220}{73} = 3 + \frac{1}{73}, \]

ya que \(11 \times 20 = (3 \times 73) + 1\), y por lo tanto, la longitud del ciclo para \( \frac{1}{73} \) no es mayor que para \( \frac{20}{73} \). Así que deben ser iguales.

¿Cómo encontramos el número 11, que "deshizo" \(20\), módulo 73? En el Capítulo 3 vimos que todos los números \( \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{72} \) existen, módulo 73, y explicamos cómo calcularlos. Si haces esto para \( \frac{1}{20} \), módulo 73, encontrarás que es 11. Así que siempre hay un "multiplicador" inverso...

Se puede ver en la Tabla 6.2 que hay bastantes primos para los que el período decimal de \( \frac{1}{p} \) alcanza su longitud completa, \( p-1 \). A estos los llamaremos primos largos (para base 10). Por supuesto, en cada caso en la Tabla 6.2,

\[ \text{número} \times \text{longitud} = p - 1; \]

ya que, en conjunto, los ciclos se encargan de todos los \( p-1 \) numeradores \(1, 2, \ldots, p-1\).

Tabla 6.2 Estructura de los ciclos para denominadores primos \(p\), \(3 \leq p \leq 283\).

Tanto el número como la longitud de los ciclos deben dividir exactamente \(p - 1\). Pero ya sabemos cuál es la longitud:

y esto divide exactamente a \(p - 1\). Por ejemplo, para \(p = 73\), los ciclos tienen longitud 8, ya que:

\[ 10^8 \equiv 1 \mod 73, \]

y, de hecho, 8 divide a 72. Si tomas la novena potencia de ambos lados de esto, verás que:

\[ 10^{72} \equiv 1 \mod 73. \]

De la misma manera,

\[ 10^{p-1} \equiv 1 \mod p, \]

para cada número primo \(p\) distinto de 2 o 5. Y no hay nada especial sobre la base 10: podemos usar cualquier otra base, \(b\).

Teorema "pequeño" de Fermat

\[ \text{Si } p \text{ no divide a } b, \, b^{p-1} \equiv 1 \mod p. \]

Barajado repetido

Por supuesto, la razón habitual para barajar cartas es mezclarlas, y cuanto más las barajas, más mezcladas esperas que estén. Sin embargo, si repites exactamente el mismo barajado el número correcto de veces, encontrarás que las cartas vuelven a su orden original. Descubriremos este número para tres tipos de barajado: el barajado interno y externo y el barajado de Monge.

Barajados "Riffle"

Estos son frecuentemente utilizados por magos y manipuladores de cartas (Figura 6.5). Divides un mazo de \(2n\) cartas en dos mitades, \(n\) cartas en cada una, y luego las entrelazas de manera alternada para que las cartas en el mazo final provengan alternadamente de tu mano izquierda y derecha (el barajado interno, Figura 6.5(a)), o de tu mano derecha e izquierda (el barajado externo, Figura 6.5(b)). Nota que en el barajado externo, las cartas externas permanecen donde están: solo estás barajando las \(2n-2\) cartas internas.

En el barajado interno verás que las cartas que hemos numerado:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

terminan en las posiciones originalmente ocupadas por los números:

2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7.

La regla general es que la carta número \(k\) termina en el lugar que estaba originalmente ocupado por la carta cuyo número era \(2k\), módulo \(2n+1\). Después de \(s\) barajados, la carta número \(k\) estará en el lugar que estaba originalmente ocupado por la carta cuyo número era \(2^s k\), módulo \(2n+1\), por lo que \(s\) barajados restaurarán el orden original solo cuando:

\[ 2^s \equiv 1 \mod (2n + 1). \]

Por el pequeño teorema de Fermat, cuando \(2n+1\) es un número primo, \(p\), el número requerido de barajados siempre divide \(p-1 = 2n\), el número de cartas.

Ocurre que 53 es un primo largo en la base 2, por lo que necesitas exactamente 52 barajados para restaurar el orden original a un mazo de 52 cartas.

Para el barajado externo numeramos las cartas desde 0 como en la Figura 6.5(b) y obtenemos resultados similares: \(s\) barajados restaurarán el orden justo cuando:

\[ 2^s \equiv 1 \mod (2n-1), \]

Figura 6.5 Barajados "riffle". (a) El barajado interno. (b) El barajado externo.

Barajado de Monge

Gaspard Monge investigó el siguiente tipo de barajado. Toma cartas desde la parte superior del mazo en tu mano izquierda alternativamente hacia la parte inferior y superior del mazo en tu mano derecha, como se muestra en la Figura 6.6.

Figura 6.6 Barajado de Monge.

Esta vez, el lugar originalmente ocupado por la carta \(k\) es aquel cuyo número es congruente a \(\pm 2k, \mod 4n+1\). El número de barajados necesarios para restaurar el orden original es el menor \(s\) para el cual:

\[ 2^s \equiv \pm 1, \mod 4n+1. \]

Si \(4n+1\) es primo, este número divide \(2n\):

Así que verás que los barajados de cartas realmente están investigando el comportamiento cíclico de las fracciones en base 2.

¿Cómo cambia la longitud del ciclo con la base?

La longitud del ciclo de \(1/p\) sí depende de la base de notación, \(b\), (pero porque es el menor \(n\) para el cual \(b^n \equiv 1 \mod p\), realmente depende solo del valor de \(b \mod p\)). Veamos \(1/13\) en diferentes bases (Tabla 6.3).

Tabla 6.3 \(1/13\) en diferentes bases. (Aquí A = 10, B = 11).

Así que la longitud es:

Compara esto con el comportamiento de las fracciones \( \frac{0}{12}, \frac{1}{12}, \frac{5}{12}, \frac{7}{12}, \frac{11}{12} \). El denominador más bajo es:

En general, como descubrió Euler:

Regla del Totiente de Euler

El número de bases, módulo \( p \), en las cuales \( \frac{1}{p} \) tiene una longitud de ciclo \( l \), es exactamente igual al número de fracciones:

que tienen el menor denominador \( l \). Para comprender esto, debemos usar un poco de álgebra, específicamente el hecho de que una ecuación no puede tener más raíces (soluciones) que su grado. Esto se prueba utilizando únicamente las cuatro reglas aritméticas, así que:

Aquí vemos que:

O, en otras palabras:

Desde estos datos, puedes calcular cuántas bases, módulo 13, producen cada longitud posible: es exactamente lo mismo que las fracciones \( \frac{0}{12}, \frac{1}{12}, \frac{5}{12}, \dots \frac{11}{12} \). Este comportamiento explica la regla del totiente de Euler.

Teorema de Wilson

Sir John Wilson (1741–1793) observó que cuando \( p \) es un número primo, los números factoriales \((p - 1)!\) siempre dejan como residuo \( p - 1 \) al dividirse por \( p \).

Explicamos esto de la siguiente manera:

\[ (x - 1)(x - 2)(x - 3) \cdots (x - (p - 1)) \equiv x^{p-1} - 1 \pmod{p}. \]

Si necesitas más información o tienes dudas sobre algún concepto, no dudes en pedírmelo.

Fracciones Pitagóricas

Como veremos en el capítulo 7, los problemas de geometría no siempre conducen a números racionales, pero hay algunos casos interesantes donde sí lo hacen. ¿Qué formas de rectángulos tienen lados y diagonales con números enteros? Llamaremos a las fracciones correspondientes \( b/l \) las fracciones pitagóricas (Figura 6.7). Aquellos lectores que recuerden el triángulo 3, 4, 5 verán que \( 3/4 \) y \( 4/3 \) son fracciones pitagóricas.

El famoso aritmético griego Diofanto de Alejandría demostró que las fracciones pitagóricas son precisamente los números:

con \( p \) y \( q \) como números enteros.

Aquí están todos los triángulos rectángulos con lados enteros y catetos menores de 100 (omitiendo aquellos donde \( b \), \( l \) y \( d \) tienen un factor común):

1. 3, 4, 5
2. 5, 12, 13
3. 7, 24, 25
4. 8, 15, 17
5. 9, 40, 41
6. 11, 60, 61
7. 12, 35, 37
8. 13, 84, 85
9. 16, 63, 65
10. 20, 21, 29
11. 20, 99, 101
12. 28, 45, 53
13. 33, 56, 65
14. 36, 77, 85
15. 39, 80, 89
16. 48, 55, 73
17. 60, 91, 109
18. 65, 72, 97

La Figura 6.9 ilustra el método de Vogeler para encontrar fracciones pitagóricas. Este enfoque usa un círculo y un cuadrado para visualizar las fracciones que corresponden a triángulos rectángulos con números enteros.

Roger Vogeler ha demostrado que el proceso esbozado en la Figura 6.9 proporciona cada fracción pitagórica \(x/y\) exactamente una vez. Un círculo está inscrito dentro de un cuadrado. Unimos una esquina del cuadrado, \(P\), con el punto donde esta línea toca el círculo en \(S\) o \(W\). El otro punto, \(Q_1\), donde esta línea corta el círculo, es una de las esquinas de un rectángulo con forma de (3,4,5). Si unimos las otras esquinas al punto \(P\), encontramos los puntos \(Q_2\), \(Q_4\) y \(Q_{10}\) en el círculo, que son las esquinas de rectángulos con forma de (5,12,13), (8,15,17) y (20,21,29), correspondientes al segundo, cuarto y décimo de los que aparecen en la Figura 6.8. Si conectamos \(P\) con las esquinas de cada nuevo rectángulo, se descubrirán rectángulos adicionales, continuando el proceso indefinidamente.

Imagen de RECREATIONAL MATHEMATICS COLLOQUIUM II

Una Tabla Babilónica de Fracciones Pitagóricas

Estas "fracciones pitagóricas" eran conocidas mucho antes de Pitágoras. La Figura 6.10(a) muestra una tablilla de arcilla babilónica que se cree registraba algunas transacciones comerciales antes de que Otto Neugebauer señalara su conexión con las ternas pitagóricas.

En el Capítulo 1 aprendimos a leer escritura cuneiforme babilónica, por lo que podrás verificar la traducción dada en la Figura 6.10(b). La tablilla está claramente rota. Hay varias especulaciones sobre el alcance exacto (¡y uso!) de la tabla original, pero nuestra propia reconstrucción se muestra en la Figura 6.11. Según esto, la tabla completa podría haber registrado todas las formas:

con \( p \) y \( q \) como números "regulares" (es decir, que dividen poderes de 60) y \( q \) menor que 60. En el Capítulo 7 veremos cómo encontrar fracciones que sean buenas aproximaciones a otros números.

Figura 6.10(a): Plimpton 322, una tablilla de arcilla babilónica que contiene fracciones pitagóricas.

Figura 6.11: Plimpton 322 restaurado y completado. (Ver cuadro en la página 176).

Fracciones continuas

En nuestro esfuerzo por comprender el mundo, a menudo nos encontramos reemplazando los números desordenados que nos rodean por aproximaciones simples, diciendo que una pulgada es 2½ centímetros, o que un litro es 2½ pintas, o 1⅓ pintas, dependiendo de qué lado del Atlántico nos encontremos.

Los antiguos se enfrentaron a varias de estas preguntas en contextos astronómicos y encontraron, por ejemplo, pero no con tanta precisión, que las estaciones se repiten cada 365.242199 días: lo llamaremos un año, mientras que el periodo de las fases de la luna es 29.530588 días: lo llamaremos un mes. De hecho, los números 365.242199 y 29.530588 decrecen cada siglo en 1 o 2 en el último decimal debido a la fricción de las mareas, que está ralentizando la rotación de la Tierra y haciendo el día más largo. Sin embargo, su relación, que es todo lo que usaremos, es sensiblemente constante.

El astrónomo ateniense Metón (ca. 432 a.C.) descubrió que 235 meses son muy aproximadamente iguales a 19 años. Este es el ciclo Metónico, que todavía se usa para determinar el calendario judío y también la fecha de la Pascua.

La Figura 6.12 ilustra este error al comparar varios números de meses con varios números de años. Las primeras dos líneas indican el número de días en el año y en el mes. Cada línea subsiguiente se encuentra agregando o restando un múltiplo de las fracciones mostradas para reducir el error, el múltiplo que se elige es el que reduce el error a un nuevo mínimo. Por ejemplo, obtenemos la sexta línea agregando dos veces la quinta a la cuarta, ya que esto da un nuevo error mínimo:

(si solo hubiéramos agregado una copia, habríamos tenido 7.78 ... - 3.09 ... = 4.68 ..., no un nuevo récord).

Así que vemos que el error de 0.0864 de un día (2 horas y 4.4 minutos) en la aproximación de Metón no se mejora hasta que comparamos 4131 meses con 334 años. Las fracciones sucesivas:

Figura 6.12: Mejores y mejores aproximaciones para la relación mes-año.

Diseño de trenes de engranajes

Los ingenieros usan esto en el diseño de trenes de engranajes. La Figura 6.13 muestra un tren de engranajes simple que podría usarse en un planetario para simular el movimiento relativo del sol y la luna alrededor de la Tierra. Aproxima 12.368267 ... por 235/19.

Nos encontramos con fracciones continuadas nuevamente en nuestro próximo capítulo, que comienza con otra pieza de las matemáticas babilónicas.

Figura 6.13: Tren de engranajes que simula el movimiento relativo del sol y la luna.

Referencias

David Aldous and Persi Diaconis. Shuffling cards and stopping times. Amer. Math. Monthly, 93 (1986) no. 5, 333–348. (Tiene una extensa bibliografía).

Persi Diaconis, R.L. Graham and William M. Kantor. The mathematics of perfect shuffles. Adv. Appl. Math., 4 (1983): 175–196.

C. Hooley. On Artin’s conjecture. J. reine angew. Math., 225 (1967): 209–220; M.R. 34 #7445.

C.G.J. Jacobi. Canon Arithmeticus, Berlin, 1839; Nach Berechnungen von Wilhelm Patz, en verbesserter und erweiterter Form neu herausgegeben von H. Brandt, Akademie-Verlag, Berlin, 1956.

Otto Neugebauer. The Exact Sciences in Antiquity. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1952.

A.E. Western and J.C.P. Miller. Indices and primitive roots. Royal Society Math. Table, 9, Cambridge Univ. Press, 1968.

Samuel Yates. Prime Period Lengths (publicado de manera privada).

Problemas Geométricos y Números Algebraicos

Históricamente, la geometría ha sido con frecuencia una fuente de nuevos números (Figura 7.1). La Figura 7.1 es nuestro redibujado de la tablilla número 7289 de la colección babilónica de Yale.

Ya debes estar adquiriendo cierta habilidad para leer escritura cuneiforme babilónica, por lo que probablemente puedas deducir que los números de base 60 de la diagonal del cuadrado son \(1,\;24,\;51,\;10\). Si utilizamos la notación habitualmente asociada con otra petición de los babilonios, esto significa

\[ 1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3} =1.41421296296296\ldots \]

Figura 7.1. Tablilla babilónica YBC 7289.

La tablilla multiplica este valor de \( \sqrt 2 \) por el lado (\(30'\), es decir \( \tfrac12 \)) del cuadrado para obtener su diagonal.

¿Cómo encontraron los babilonios esta extraordinaria aproximación? Ciertamente no mediante mediciones. Si el lado del cuadrado tuviera una milla, el error cometido al medir la diagonal sería menor de un milímetro. (¿Cuándo fue la primera vez que un ser humano pudo medir con tal precisión? Probablemente solo en este siglo). Parece claro que utilizaron cálculo.

Sea como fuere que se obtuviera este valor de \( \sqrt2 \), parece seguro que los babilonios sabían que el cálculo no estaba completo, aunque constituye un buen punto donde detenerlo, porque el siguiente «lugar» sexagesimal ya es bastante pequeño.

¿Se detiene alguna vez el cálculo? ¿O se vuelve periódico? Uno de los descubrimientos más asombrosos atribuidos a Pitágoras implica que ambas respuestas son negativas.

Figura 7.2. Continuación del cálculo babilónico.

La sucesión de «dígitos» sexagesimales de la Figura 7.2 debería continuar indefinidamente y, de hecho, es la representación recurrente decimal:

\[ \sqrt2= 1.41421356237309504880\, 1688724209\, 6980785696\ldots \]

Resulta sorprendente que un hecho tan profundo se estableciera tan pronto en la historia de la humanidad.

En realidad, ni siquiera sabemos si fue el propio Pitágoras quien descubrió este hecho, ya que los pitagóricos constituían una hermandad mística que solía atribuir todos sus descubrimientos al maestro.

El gran teorema de Pitágoras

También pudo haber existido, como hemos insinuado antes, alguna influencia babilónica. Sabemos que los pitagóricos y los geómetras griegos posteriores quedaron profundamente impresionados por este resultado. La historia tradicional, relatada por Proclo, afirma que sacrificaron cien bueyes en su honor.

\( \sqrt2 \) no puede expresarse como una fracción \( \dfrac{a}{b} \), donde \(a\) y \(b\) son números enteros.

La discusión del Capítulo 4 implica entonces que su desarrollo decimal ni termina ni se vuelve periódico. Lo mismo ocurre en cualquier otra base de numeración, por ejemplo en la escala sexagesimal babilónica.

En el lenguaje matemático habitual nos referimos a las razones o proporciones como números racionales, y afirmamos que

\[ \sqrt2 \text{ es un número irracional.} \]

Históricamente, éste es el primer ejemplo conocido de un número de este tipo.

Podemos ver la irracionalidad de \( \sqrt2 \) doblando un cuadrado de papel (Figura 7.3). Por el teorema de Pitágoras, la longitud de la diagonal es \( \sqrt2 \) veces la longitud del lado. Si el lado mide 12 pulgadas, la diagonal mide

\[ 12\sqrt2 =16.97056\ldots \]

o aproximadamente 17 pulgadas. Así pues, \( \sqrt2 \) es muy próximo a \(17/12\). Sin embargo, veremos que \( \sqrt2 \) no puede ser igual a ninguna fracción. Si realmente fuese \(17/12\), la diagonal de un cuadrado de 12 pulgadas sería exactamente de 17 pulgadas.

Figura 7.3. Desplegando el misterio de \( \sqrt2 \).

En la Figura 7.3 se pliega el lado \(AD\) desde su posición original \(AD'\) sobre la diagonal \(AC\). Entonces \(CDE\) tiene la misma forma que \(ABC\) (de modo que \(CD=DE\)) y además posee lados de longitud entera:

\[ CD=5,\qquad 17-12, \] \[ CE=7,\qquad 12-5. \]

Por tanto, la fracción más sencilla para \( \sqrt2 \) no puede ser \(17/12\), pues ya tendríamos una mejor aproximación, \(7/5\). El mismo argumento, comenzando con un cuadrado de diagonal \(a\) y lado \(b\), muestra que \( \sqrt2 \) no puede ser igual a ningún número racional \(a/b\) en términos mínimos.

Pruebas similares en las Figuras 7.4 y 7.5 muestran que las razones (diagonal/lado) de un pentágono regular y (diagonal corta/lado) de un hexágono regular también son números irracionales.

En la Figura 7.4, \(BEA\) es semejante a \(ABD\), pero \(AB=AE=d\) y \(BE=c-d\). En la Figura 7.5, \(CDE\) es semejante a \(ABC\), pero \(CD=DE=e-f\) y \(CE=2f-(e-f)=3f-e\).

La razón (diagonal/lado) de un pentágono regular recibe el nombre de número áureo

\[ \tau =1.618033988\ldots \]

Su valor exacto es \[ \tau=\frac{1+\sqrt5}{2}. \] Sus maravillosas propiedades han intrigado a muchas personas desde la Grecia antigua hasta nuestros días. Fra Luca Pacioli escribió un libro entero sobre este tema, titulado De Divina Proportione, impreso en 1509. Muchas personas creen que el rectángulo áureo, cuyas proporciones son el número áureo, es la forma estéticamente más agradable.

Para el hexágono, la razón \(e/f\) vale

\[ \sqrt3=1.732050807\ldots \]

La demostración geométrica de que \( \sqrt3 \) es irracional puede generalizarse aritméticamente.

Por supuesto, algunas raíces cuadradas de números enteros sí son racionales. Por ejemplo,

\[ \sqrt9=3. \]

La afirmación correcta es que, si la raíz cuadrada de un número entero no es un número entero, entonces tampoco es una fracción.

Figura 7.4. Plegando un pentágono regular.

Figura 7.5. Plegando medio hexágono regular.

Supongamos que \( \sqrt N=\dfrac{B}{A} \) está escrita en su forma más simple. Entonces

\[ N=\frac{B^2}{A^2}. \]

De aquí se deduce que

\[ \sqrt N=\frac{NA}{B}. \]

Por tanto, \(B/A\) también sería igual a \(NA/B\). Las partes fraccionarias de \(B/A\) y \(NA/B\) tendrían la forma \(a/A\) y \(b/B\), donde \(a\) y \(b\) son números positivos menores que \(A\) y \(B\), respectivamente. Pero si dos números son iguales, también deben ser iguales sus partes fraccionarias:

\[ \frac{a}{A}=\frac{b}{B}, \]

y por tanto

\[ \frac{b}{a}=\frac{B}{A}=\sqrt N . \]

Esto proporciona una forma más sencilla para \( \sqrt N \), contradiciendo nuestra hipótesis de que \( B/A \) era la fracción más simple.

Por ejemplo, si \( \sqrt2 \) fuese \( 17/12 \), también sería \( 24/17 \), y las partes fraccionarias de estos números serían iguales:

\[ \frac{5}{12} = \frac{7}{17}, \]

y

\[ \frac{7}{5} = \frac{17}{12} = \sqrt2, \]

obteniéndose así una fracción más sencilla para \( \sqrt2 \).

Así pues, si pensabas que todos los números eran fracciones, ¡estabas equivocado! Existen muchos números irracionales; de hecho, en el Capítulo 9 veremos que hay muchísimos más números irracionales que racionales.

Fracciones continuas para números irracionales

Sea un número racional o no, podemos hallar para él una fracción continua del mismo modo que hicimos en el capítulo anterior. El proceso termina únicamente para los números racionales; los irracionales conducen a fracciones continuas infinitas.

Lagrange demostró que las fracciones continuas son periódicas precisamente para los números algebraicos de grado dos; por ejemplo:

\[ \sqrt2= 1+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\cdots}}} \]

\[ \tau= \frac{1+\sqrt5}{2} = 1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cdots}}} \]

\[ \sqrt3= 1+\cfrac1{1+\cfrac1{2+\cfrac1{1+\cfrac1{2+\cdots}}}} \]

\[ \sqrt5= 2+\cfrac1{4+\cfrac1{4+\cfrac1{4+\cdots}}} \]

Muy pocos números muestran algún patrón reconocible, pero el número de Napier,

\[ e= 2+\cfrac1{ 1+\cfrac1{ 2+\cfrac1{ 1+\cfrac1{ 1+\cfrac1{ 4+\cfrac1{ 1+\cfrac1{ 1+\cfrac1{ 6+\cdots}}}}}}}} \]

y también su cubo presentan ciertas regularidades. Sin embargo,

\[ \pi= 3+\cfrac1{ 7+\cfrac1{ 15+\cfrac1{ 1+\cfrac1{ 292+\cdots}}}} \]

parece bastante caótico.

Números de Lagrange, números de Markov y el número de Freiman

Observa que se obtiene una buena aproximación a un número si se corta la cola de su fracción continua justo antes de un gran cociente parcial. Por ejemplo, justo antes de \(15\) o justo antes de \(292\) en \(\pi\),

\[ \pi \approx 3+\frac17=\frac{22}{7} \qquad\text{o}\qquad \pi \approx 3+\cfrac1{7+\cfrac1{15+1}} =\frac{355}{113}. \]

Lagrange demostró un teorema que afirma que pueden encontrarse infinitas aproximaciones \(p/q\) de cualquier número real \(r\) tales que

\[ \left|r-\frac pq\right| \le \frac1{\sqrt5\,q^2}. \]

Los números más difíciles de aproximar están asociados al número áureo \(\tau\), cuyos cocientes parciales son todos iguales a \(1\). Si excluimos tales números, Lagrange mejora su resultado a

\[ \left|r-\frac pq\right| \le \frac1{\sqrt8\,q^2}. \]

Los siguientes números más difíciles de aproximar están asociados a \(\sqrt2\) y, si también los excluimos, el resultado mejora a

\[ \left|r-\frac pq\right| \le \frac1{\sqrt{221/25}\,q^2}. \]

Y así sucesivamente. Estas constantes, \(\sqrt5\), \(\sqrt8\), \(\sqrt{221/25}\), ..., son los números de Lagrange. Tienen la forma

\[ \sqrt{9-\frac4{m^2}}, \]

donde \(m\) es un número de Markov. Los números de Markov aparecen en las soluciones de la ecuación diofántica

\[ x^2+y^2+z^2=3xyz. \]

Es claro que \((x,y,z)=(1,1,1)\) es una solución, y también lo es \((1,1,2)\). Como la ecuación es cuadrática en \(x\), \(y\) y \(z\), cada número diferente en una solución conduce a un nuevo número. Podemos ordenar las soluciones posteriores

\[ (1,2,5),\; (1,5,13),\; (2,5,29),\ldots \]

numerando las regiones alrededor de un árbol trivalente infinito; los tres números que rodean un vértice forman una solución.

Árbol trivalente infinito asociado a las soluciones de la ecuación de Markov.

Es un famoso problema no resuelto determinar si existen dos regiones diferentes con la misma etiqueta. Las regiones adyacentes a la región etiquetada con \(1\) tienen etiquetas de Fibonacci alternativas: \(1,2,5,13,34,89,\ldots\), y las adyacentes a la región etiquetada con \(2\) tienen etiquetas de Pell alternas: \(1,5,29,169,985,\ldots\)

Obsérvese que la suma de las etiquetas en los dos extremos de una arista es igual a tres veces el producto de las etiquetas situadas a ambos lados de dicha arista:

\[ 13+89=3\cdot1\cdot34, \] \[ 7561=3\cdot13\cdot194, \] \[ 6466=3\cdot5\cdot433, \] por ejemplo.

Los números de Lagrange, que pueden interpretarse como el «grado de aproximabilidad» de un número, forman el espectro de Lagrange. Los únicos números del espectro menores que \(3\) son los que proceden de los números de Markov, aunque existen muchos más. De hecho, G. A. Freiman demostró que la última laguna termina en el número de Freiman.

\[ \frac{2221564096+283748\sqrt{462}} {491993569} \]

que es aproximadamente

\[ 4.527829566160879140882695988070469646929833632769728374065061\ldots \]

y todos los números reales mayores que éste pertenecen al espectro de Markov.

Números algebraicos

Los tres números irracionales que surgieron de las razones diagonal:lado para el cuadrado, el pentágono y el hexágono satisfacen ecuaciones algebraicas. Así,

\(x=a/b\) para el cuadrado satisface \(x^2=2\), o bien \(x^2-2=0\);

\(y=c/d\) para el pentágono satisface \(y^2=y+1\), o bien \(y^2-y-1=0\);

\(z=e/f\) para el hexágono satisface \(z^2=3\), o bien \(z^2-3=0\).

Por ello se denominan números algebraicos.

En general, un número \(x\) que es solución de una ecuación

\[ ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\cdots+kx+l=0 \qquad (a\neq0) \]

donde \(a,b,c,\ldots ,k,l\) son enteros, se llama número algebraico, y su grado es el menor exponente \(n\) de una ecuación de este tipo. La ecuación de menor grado para un número algebraico es esencialmente única. Todas las demás ecuaciones que satisface se obtienen multiplicando ésta por otros factores.

La ecuación más simple satisfecha por un número algebraico \(\alpha\) puede también ser satisfecha por algunos otros números, \(\beta,\gamma,\ldots\). De hecho, siempre tendrá \(n\) soluciones distintas \(\alpha,\beta,\gamma,\ldots\) (aunque algunas puedan ser complejas; véase el capítulo siguiente):

\[ ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\cdots+kx+l= a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\cdots \]

Los números \(\beta,\gamma,\ldots\) se denominan los conjugados de \(\alpha\). Si \(\alpha\) satisface cualquier otra ecuación algebraica

\[ Ax^N+Bx^{N-1}+Cx^{N-2}+\cdots+Kx+L=0 \]

(donde \(A,B,C,\ldots,K,L\) son enteros), entonces sus conjugados también satisfarán dicha ecuación, porque ésta es múltiplo de la ecuación mínima.

Por ejemplo, la ecuación más sencilla del número áureo es

\[ \tau=\frac{1+\sqrt5}{2} \]

y satisface

\[ x^2-x-1=0, \]

que tiene otra raíz,

\[ \sigma=\frac{1-\sqrt5}{2}. \]

Ahora bien, \(\tau\) también satisface la ecuación

\[ x^5=5x+3, \]

por lo que su conjugado \(\sigma\) también la satisface.

Los números irracionales que hemos encontrado hasta ahora son todos números algebraicos de grado dos (o irracionales cuadráticos). Nuestros dos ejemplos siguientes son de grado tres.

Tres problemas griegos

Delos es una isla del archipiélago griego, célebre en otro tiempo por ser el supuesto lugar de nacimiento de Apolo y Artemisa. Cuenta la historia que, mientras una plaga asolaba Atenas, sus habitantes enviaron un emisario para preguntar al oráculo de Apolo en Delos qué debían hacer. El oráculo respondió que la plaga cesaría si el altar de Apolo se construía exactamente con el doble de volumen.

El altar era un cubo geométrico de arista un codo. Los atenienses construyeron rápidamente un nuevo altar de arista dos codos. Pero la plaga continuó, pues, como explicó después el oráculo, el nuevo altar era ocho veces mayor que el antiguo. Lo intentaron de nuevo colocando dos cubos de un codo uno al lado del otro, pero la plaga siguió porque el nuevo altar ya no era un cubo.

Parece que Apolo sólo quedaría satisfecho con un cubo cuya arista fuera \(\sqrt[3]{2}\). Los geómetras griegos conocían construcciones con regla y compás para longitudes como \(\sqrt2\), \(\sqrt3\), etc., y también para \(\sqrt[3]{2}\), pero ninguno de ellos pudo proporcionar una construcción para \(\sqrt[3]{2}\). Hoy sabemos que no existe.

Otro problema que intrigó a los griegos, aunque no parece tener una leyenda asociada, es la trisección del ángulo. Los geómetras griegos sabían cómo bisecar una recta, cómo bisecar un ángulo y también cómo dividirlo en cualquier número de partes iguales. Sabían igualmente bisecar un ángulo y, repitiendo el proceso, cuadrisecarlo o dividirlo en \(2^n\) partes iguales, pero no podían encontrar una construcción con regla y compás para trisecar un ángulo arbitrario. Hoy sabemos también que tal construcción no existe.

El tercero y más célebre de los problemas que preocuparon a los griegos...

...El tercero y más célebre de los problemas que preocuparon a los griegos fue el de la cuadratura del círculo: dado un círculo, construir un cuadrado de la misma área. «Cuadrar el círculo» se convirtió en una expresión para designar un problema imposible mucho antes de que Ferdinand von Lindemann demostrara en 1882 que realmente era imposible. Un problema equivalente consiste en construir un segmento cuya longitud sea \(\pi\) veces la de otro dado.

Figura 7.6. (a) y (c) son sencillas. Para trisecar \(AB\), se marcan cuatro longitudes iguales \(AC\), \(CD\), \(DE\) sobre otra recta y se trazan las paralelas \(CX\), \(DY\) y \(EB\).

En los dos primeros problemas griegos aparecen números algebraicos cúbicos, mientras que en el tercero aparece un número trascendente (véase el Capítulo 9).

Antes de estudiar estos problemas con más detalle, conviene establecer con precisión las reglas.

Construcciones con regla y compás

Euclides parece haber considerado la geometría como una especie de juego. Las reglas de este juego son: (i) dados dos puntos, se puede utilizar la regla para unirlos y prolongar las rectas tanto como se quiera, y (ii) se puede utilizar el compás para dibujar una circunferencia con centro en uno de ellos y que pase por el otro. Los nuevos puntos, obtenidos como intersecciones de rectas y circunferencias, pueden utilizarse para hallar otros puntos, y así sucesivamente.

Partiendo de dos puntos \(O\) y \(X\), separados una distancia \(1\), ¿qué otros puntos del plano pueden alcanzarse con estas reglas? Para responder a esta pregunta utilizaremos coordenadas. Tomemos \(O=(0,0)\), \(X=(1,0)\); la Figura 7.7 muestra cómo alcanzar los puntos \(A=(6,0)\) y \(B=(2\frac12,0)\).

No es difícil demostrar que se puede obtener cualquier punto cuyas coordenadas sean números racionales. Pero la primera construcción de Euclides, un triángulo equilátero, implica coordenadas irracionales. En la Figura 7.7 el punto \(C\) tiene coordenadas \((\tfrac12,\tfrac12\sqrt3)\).

Figura 7.7. Obtención de puntos enteros y fraccionarios.

Cómo los problemas geométricos conducen a números algebraicos

La mayoría de los números que aparecen en problemas geométricos son algebraicos. ¿Por qué sucede esto? El teorema de Pitágoras muestra cómo aparecen las raíces cuadradas. No será necesario encontrar el punto donde se cortan dos rectas: bastará resolver dos ecuaciones lineales. Pero los dos puntos de intersección de dos circunferencias, o de una circunferencia con una recta, se obtienen resolviendo una ecuación cuadrática.

Razonando en sentido inverso, podemos ver que cualquier número que sea raíz de una ecuación cuadrática puede obtenerse geométricamente. He aquí una forma de hacerlo. Para hallar las raíces \(x_1\) y \(x_2\) de la ecuación cuadrática típica

\[ x^2-ax+b=0, \]

construimos los puntos \(Y\) y \(Z\) de coordenadas \((0,1)\) y \((a,b)\) (Figura 7.8). Entonces la circunferencia de diámetro \(YZ\) corta al eje horizontal en \(X_1\) y \(X_2\), de coordenadas \((x_1,0)\) y \((x_2,0)\). Así, puede darse una construcción euclídea para cualquier número que se obtenga a partir de una cadena de ecuaciones cuadráticas.

Llamaremos números euclídeos a los números obtenidos mediante la resolución repetida de ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo,

\[ q=\frac18\left\{ -1+\sqrt{17} +\sqrt{34-2\sqrt{17}} +\sqrt{ 68+12\sqrt{17} -16\sqrt{34+2\sqrt{17}} +2(-1+\sqrt{17})\sqrt{34-2\sqrt{17}} } \right\}. \]

Figura 7.8. Resolución geométrica de una ecuación cuadrática.

es un número euclídeo; tras una larga manipulación algebraica, resulta ser la mayor raíz de la ecuación cuadrática

\[ x^2-ax+b=0, \]

donde \(a\) y \(b\) son las mayores raíces de las ecuaciones

\[ x^2-\alpha x-1=0, \] \[ x^2-\beta x-1=0, \]

y \(\alpha\) y \(\beta\) son \((-1\pm\sqrt{17})/2\), las raíces de

\[ x^2+x-4=0. \]

Este ejemplo aparece en la famosa construcción de Gauss del polígono regular de 17 lados (véase el Capítulo 8). Las soluciones de

\[ x^2-\alpha x-1=0, \qquad x^2-\beta x-1=0 \]

satisfacen

\[ (x^2-\alpha x-1)(x^2-\beta x-1)=0, \]

es decir,

\[ x^4+x^3-6x^2-x+1=0, \]

cuyas cuatro raíces son

\[ a,c= \frac{\alpha\pm\sqrt{\alpha^2+4}}{2} = \frac{-1+\sqrt{17}\pm\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{4}, \]

\[ b,d= \frac{\beta\pm\sqrt{\beta^2+4}}{2} = \frac{-1-\sqrt{17}\pm\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{4}. \]

Un punto de coordenadas \((x,y)\) es construible geométricamente con regla y compás, siguiendo las reglas de Euclides, si y sólo si \(x\) e \(y\) son números euclídeos. Esto es precisamente lo que hace imposibles aquellos problemas griegos. El problema de la duplicación del cubo requiere el número de Delos,

\[ \sqrt[3]{2}, \]

pero el número de Delos no es un número euclídeo.

Figura 7.9. Un eneágono puede construirse si la longitud \(x\) puede construirse.

Si se pudiera trisecar un ángulo con regla y compás, podría construirse fácilmente, por ejemplo, un polígono regular de nueve lados inscrito en una circunferencia de radio \(2\) (Figura 7.9). El punto \(P_1\) tiene coordenadas \((x,y)\), donde \(x\) satisface la ecuación

\[ x^3-3x+1=0. \]

Pero este \(x\) no es un número euclídeo.

Finalmente, si se pudiera cuadrar el círculo, podría construirse el punto de coordenadas \((\pi,0)\), pero el número de Ludolph, \(\pi\), tampoco es un número euclídeo.

Este tercer problema es completamente diferente de los otros dos, que conducían a números que satisfacen las ecuaciones algebraicas

\[ x^3-2=0, \qquad x^3-3x+1=0. \]

De hecho, ahora sabemos que el círculo no puede cuadrarse porque Lindemann demostró en 1882 que \(\pi\), además de no ser un número euclídeo, ni siquiera es un número algebraico.

Doblando las reglas

Las reglas de Euclides no permiten realizar marcas sobre la regla. Si, por el contrario, disponemos de dos marcas \(X\) e \(Y\) separadas una unidad, podemos utilizarlas de una manera bastante ingeniosa para resolver los dos primeros problemas griegos (Figura 7.10). Coloca la regla de manera que pase por el vértice \(B\) de un hexágono regular de lado \(1\), con sus dos...

Figura 7.10. El dilema de Delos eludido.

...las marcas \(X\) e \(Y\), sobre las rectas \(AO\) (\(X\) no en \(O\)) y \(AE\). Entonces

\[ BY=\sqrt[3]{2} \qquad\text{y}\qquad AX=\sqrt[3]{4}. \]

Los griegos conocían perfectamente este tipo de construcciones «tramposas» y las llamaban construcciones por neusis o «de vergencia». Quizá la más elegante sea la trisección del ángulo de Arquímedes.

Para trisecar el ángulo \(AOB\) en una circunferencia de radio \(1\), colóquese la regla pasando por \(B\), con sus marcas \(X\) e \(Y\) sobre \(OA\) (\(X\) no en \(O\)) y sobre la circunferencia, como en la Figura 7.11. Entonces el ángulo \(OXY\) es la tercera parte del ángulo \(AOB\).

¿Cómo podemos saber, a partir de la geometría, qué ecuación algebraica aparecerá? Es posible hacer una conjetura razonable simplemente numerando los sectores alrededor de un punto.

Figura 7.11. Trisección angular por neusis de Arquímedes.

A  0º  90º  180º  270º  360º  450º  540º  630º  720º  810º  900º  990º  1080º \(\cdots\)
B  0º  30º  60º  90º  120º  150º  180º  210º  240º  270º  300º  330º  360º \(\cdots\)

Figura 7.12. Las tres trisecciones del ángulo \(XOR\) y las trisecciones inversas.

Figura 7.13. Tres maneras de seguir las instrucciones de Arquímedes.

...contando correctamente el número de soluciones. Por ejemplo, imaginemos la trisección de un ángulo \(A\), siendo \(B\) el ángulo de trisección. Observemos la Figura 7.12(a), en la que el ángulo \(XOR\) es \(A\) y el ángulo \(XOQ\) es \(B=\tfrac13A\), y veamos qué sucede cuando \(A\) pasa por múltiplos de \(90^\circ\).

A  0º  90º  180º  270º  360º  450º  540º  630º  720º  810º  900º  990º  1080º \(\cdots\)
B  0º  90º  60º  90º  120º  150º  180º  210º  240º  270º  300º  330º  360º \(\cdots\)

Como las rectas no se alteran al dar vueltas completas (múltiplos de \(360^\circ\)), si \(B\) es una trisectriz de \(A\), también lo son \(B+120^\circ\) y \(B+240^\circ\). Vemos así que

La Figura 7.12(b) muestra las tres trisectrices (a trazos) del ángulo \(XOR\). No deben confundirse con las trisectrices del ángulo inverso \(ROX\), que son otras tres rectas, llamadas las trisectrices inversas (Figura 7.12(c)). La Figura 7.13 muestra cómo la construcción de Arquímedes encuentra las tres trisectrices de un ángulo dado.

Cualquier ecuación algebraica correspondiente a este problema geométrico no distinguirá entre estos tres ángulos y, por tanto, debe esperarse que conduzca a una ecuación de grado \(3\).

Construcción de polígonos regulares

Si \(p\) es primo, la construcción de un polígono regular de \(p\) lados inscrito en una circunferencia, con un vértice en \(P_0\), queda resuelta tan pronto como podamos construir cualquiera de los \(p-1\) vértices restantes \(P_1,P_2,\ldots,P_{p-1}\), por lo que cabe esperar una ecuación de grado \(p-1\), y es natural sospechar que

puesto que éstos son los únicos primos tales que \(p-1\) es una potencia de \(2\).

Como ya hemos mencionado, Gauss demostró que todos ellos son construibles. Análogamente, la construcción de un polígono regular con un número arbitrario \(n\) de lados queda resuelta tan pronto como podamos construir uno de los vértices \(P_r\), para el cual la fracción \(r/n\) ya esté reducida.

Puesto que el número de tales fracciones es la función φ de Euler, \(\phi(n)\), deberíamos esperar una ecuación de ese grado. En efecto, sucede que

Con otros instrumentos, otros polígonos regulares pasan a ser construibles. Para el heptágono regular, la ecuación algebraica tiene grado \(6=7-1\), y sus raíces pueden encontrarse resolviendo una cúbica, después una cuadrática y finalmente otra cuadrática. Pero un trisector de ángulos, si se dispone de él, puede utilizarse para resolver directamente cualquier ecuación cúbica cuyas raíces sean reales. Por tanto, puede emplearse, junto con la regla y el compás, para construir el heptágono regular (Figura 7.19).

Las Figuras 7.17 a 7.22 proporcionan construcciones de polígonos regulares de \(3\), \(5\), \(7\), \(9\), \(13\) y \(17\) lados. Algunos de estos números no son primos de Fermat, por lo que en ocasiones utilizaremos un trisector de ángulos.

Figura 7.14-16.

El polígono siempre contendrá el punto más a la derecha \(P_0\) de la circunferencia (Figura 7.14), y basta encontrar los puntos \(Q_1,Q_2,\ldots\), donde las cuerdas \(P_1P_{n-1}, P_2P_{n-2},\ldots\) cortan al eje (el diámetro que pasa por \(P_0\)).

Muchos de los puntos iniciales de nuestras construcciones proceden de la red hexagonal de la Figura 7.15, cuya distancia mínima es la mitad del radio de la circunferencia. Consideraremos estos puntos igualmente bien definidos cuando digamos que «pertenecen a la red». Otro de estos puntos es \(Y\), el punto medio del radio vertical.

Las construcciones suelen implicar las bisectrices o las trisectrices de ciertos ángulos.

Figura 7.17. \(n=3\). \(Q_1\), \(P_1\) y \(P_2\) pertenecen a la red.

Figura 7.18. \(n=5\). \(U=Y\); \(V=P_0\) pertenece a la red; las bisectrices cortan al eje en \(Q_1\), \(Q_2\).

Figura 7.19. \(n=7\). \(U\) y \(V\) pertenecen a la red; las trisectrices cortan al eje en \(Q_2\), \(Q_3\) y \(Q_1\).

Figura 7.20. \(n=9\). \(U\), \(V=P_6\), \(P_3\) y \(Q_3\) pertenecen a la red; las trisectrices cortan al eje en \(Q_2\), \(Q_1\) y \(Q_4\).

Figura 7.21. \(n=13\). \(U\) y \(V\) pertenecen a la red; las trisectrices cortan al eje en \(A\), \(B\) y \(C\), de coordenadas \((a,0)\), \((b,0)\), \((c,0)\). Es fácil construir los puntos \(A'\), \(B'\) y \(C'\), de coordenadas \((a,c)\), \((b,a)\) y \((c,b)\), colocando las distancias apropiadas sobre las rectas verticales. Entonces las tres circunferencias de diámetros \(YA'\), \(YB'\) y \(YC'\) cortan al eje en \(Q_2\), \(Q_3\), \(Q_7\), \(Q_5\), \(Q_4\) y \(Q_6\), respectivamente.

Figura 7.22. \(n=17\). \(U=Y\); \(V\) pertenece a la red; las cuadrisectrices cortan al eje en \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\), de coordenadas \((a,0)\), \((b,0)\), \((c,0)\) y \((d,0)\), y los puntos \(A'\), \(B'\), \(C'\) y \(D'\), de coordenadas \((a,d)\), \((b,a)\), \((c,b)\) y \((d,c)\), de forma análoga al caso \(n=13\). Las circunferencias de diámetros \(YA'\), \(YB'\), \(YC'\) y \(YD'\) cortan al eje en \(Q_1\), \(Q_4\); \(Q_3\), \(Q_5\); \(Q_2\), \(Q_8\); y \(Q_6\), \(Q_7\), respectivamente.

Las construcciones suelen requerir la bisección, trisección o cuadrisección de un ángulo. Éste será siempre el ángulo \(WUV\), medido desde la vertical descendente \(UW\), pasando por \(U\), hasta \(UV\), como en la Figura 7.16, que ilustra una trisección, donde

\[ \angle WUT=\frac13\,\angle WUV. \]

Ya hemos tenido suficiente geometría por un tiempo; veamos dónde más aparecen los números algebraicos.

Números algebraicos en problemas aritméticos

Por supuesto, los números algebraicos también pueden surgir en problemas aritméticos. Ya hemos encontrado los números de Fibonacci, \(f_n\), y los números de Lucas, \(l_n\):

\[ \begin{array}{rcccccccccccccc} n &=&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16\cdots\\[1mm] f_n &=&0&1&1&2&3&5&8&13&21&34&55&89&144&233&377&610&987\cdots\\[1mm] l_n &=&2&1&3&4&7&11&18&29&47&76&123&199&322&521&843&1364&2207\cdots \end{array} \]

Cada número de Fibonacci o de Lucas es la suma de los dos anteriores. ¿Podemos encontrar otras sucesiones con esta propiedad? Sí.

\[ 1,\;x,\;x^2,\;x^3,\;x^4,\;x^5,\;x^6,\;x^7,\;x^8,\;x^9,\ldots \]

también sirve, si

\[ x^2=x+1, \]

es decir, si \(x\) es uno de los números algebraicos

\[ \tau=\frac{1+\sqrt5}{2} \qquad\text{o}\qquad \sigma=\frac{1-\sqrt5}{2}, \]

de modo que obtenemos dos soluciones bastante especiales:

\[ 1,\tau,\tau^2,\tau^3,\tau^4,\tau^5, \tau^6,\tau^7,\tau^8,\tau^9,\ldots \]

\[ 1,\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\sigma^4,\sigma^5, \sigma^6,\sigma^7,\sigma^8,\sigma^9,\ldots \]

Combinando múltiplos de estas sucesiones, podemos ajustar los dos primeros términos para que sean cualesquiera. En particular, obtenemos

\[ f_n= \frac{\tau^n-\sigma^n}{\tau-\sigma} = \frac1{\sqrt5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n \right]. \]

\[ l_n=\tau^n+\sigma^n= \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n+ \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n \]

(lo cual no parece en absoluto una sucesión de números enteros). Para \(n\) positivo, el \(n\)-ésimo número de Fibonacci es el entero más próximo a \(\tau^n/\sqrt5\), y el \(n\)-ésimo número de Lucas es el entero más próximo a \(\tau^n\). Cuando \(n\) crece, las razones

\[ \frac{f_{n+1}}{f_n} \qquad\text{y}\qquad \frac{l_{n+1}}{l_n} \]

se aproximan a

\[ \tau= 1.6180339887498948482\ldots \]

mientras que

\[ \frac{l_n}{f_n} \]

se aproxima a

\[ \sqrt5= 2.2360679774997896964\ldots \]

\[ \begin{array}{c|c|c|c} n & f_{n+1}/f_n & l_{n+1}/l_n & l_n/f_n \\ \hline 1 & 1 & 3 & 1\\ 2 & 2 & 1.333\ldots & 3\\ 3 & 1.5 & 1.75 & 2\\ 4 & 1.666\ldots & 1.5714\ldots & 2.333\ldots\\ 5 & 1.6 & 1.6363\ldots & 2.2\\ 6 & 1.625 & 1.6111\ldots & 2.25\\ 7 & 1.6153\ldots & 1.6206\ldots & 2.2307\ldots\\ 8 & 1.6190\ldots & 1.6170\ldots & 2.2380\ldots\\ 9 & 1.6176\ldots & 1.6184\ldots & 2.2352\ldots\\ 10 & 1.6181\ldots & 1.6178\ldots & 2.2363\ldots \end{array} \]

De nuevo, si observamos los múltiplos enteros de \(\sqrt2\), no podemos esperar obtener un número entero, pero sí podemos seleccionar aproximaciones cada vez mejores:

\[ 1\sqrt2=1+0.414213\ldots \] \[ 2\sqrt2=3-0.171572\ldots \]

(pero no \(3\sqrt2=4.2426\ldots\) ni \(4\sqrt2=5.6568\ldots\), porque los errores \(+0.2426\ldots\) y \(-0.3431\ldots\) son mayores que nuestro mejor error anterior, \(-0.1715\ldots\)).

\[ 5\sqrt2=7+0.0710672\ldots \] \[ 12\sqrt2=17-0.029437\ldots \] \[ 29\sqrt2=41+0.012193\ldots \] \[ 70\sqrt2=99-0.005050\ldots \] \[ 169\sqrt2=239+0.002092\ldots \]

y obtenemos aproximaciones sucesivamente mejores para \(\sqrt2\):

\[ \left( \begin{array}{c} 1\\0 \end{array} \right) \; \frac11\; \frac32\; \frac75\; \frac{17}{12}\; \frac{41}{29}\; \frac{99}{70}\; \frac{239}{169}\; \frac{577}{408} \ldots \]

Estas fracciones poseen muchas propiedades fascinantes. Como vimos al descubrirlas, son alternativamente menores y mayores que \(\sqrt2\). Los numeradores y denominadores proporcionan las soluciones de las ecuaciones

\[ x^2-2y^2=\pm1, \]

y pueden obtenerse duplicando el término anterior y añadiendo el precedente. Esto ocurre porque la fracción continua de \(\sqrt2\) es

\[ 1+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\cdots}}}. \]

El numerador y el denominador de la \(n\)-ésima aproximación son

\[ \frac12\left\{(1+\sqrt2)^n+(1-\sqrt2)^n\right\} \]

y

\[ \frac1{2\sqrt2} \left\{ (1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n \right\}. \]

Una ecuación de la forma

\[ x^2-dy^2=1 \]

se denomina ecuación de Pell y siempre puede resolverse mediante una fórmula de este tipo.

Ahora podemos averiguar qué números triangulares son cuadrados. La condición para que el \(N\)-ésimo número triangular sea también el \(M\)-ésimo cuadrado es

\[ \frac12N(N+1)=M^2, \]

o, equivalentemente,

\[ x^2-2y^2=1, \]

en términos de

\[ x=2N+1, \qquad y=2M. \]

Por tanto, obtenemos los números \(M\) y \(N\) dividiendo entre dos el denominador y redondeando la mitad del numerador de cada una de las fracciones anteriores cuando el denominador es par:

\[ T_0=0^2,\qquad T_1=1^2,\qquad T_8=6^2,\qquad T_{49}=35^2,\qquad T_{288}=204^2,\qquad T_{1681}=1189^2,\ldots \]

El lector perspicaz habrá advertido que los subíndices son alternativamente cuadrados y dobles de cuadrados.

Resultados semejantes se obtienen para otras sucesiones en las que cada término se obtiene sumando múltiplos fijos de los \(d\) términos anteriores. Por ejemplo, si se suman los tres términos precedentes, se obtiene

\[ 0,\;1,\;1,\;2,\;4,\;7,\;13,\;24,\;44,\;81,\;149,\ldots \]

que puede expresarse mediante potencias de las raíces de la ecuación cúbica

\[ x^3=x^2+x+1. \]

Números algebraicos para niñas y niños

Muchos problemas combinatorios conducen a sucesiones de este tipo. ¿Cuántas disposiciones de \(n\) niños en fila existen si cada niña debe estar al lado de al menos otra niña? Por ejemplo, con cuatro niños existen siete disposiciones:

Para \(n=0,1,2,\ldots,12\) el número de disposiciones es \[ 1,\;1,\;2,\;4,\;7,\;12,\;21,\;37,\;114,\;200,\;351,\;616,\ldots \]

En general, si \(P(n)\) es el número de disposiciones de \(n\) niños, entonces

\[ P(n)=2P(n-1)-P(n-2)+P(n-3), \]

y la razón

\[ \frac{P(n+1)}{P(n)} \]

se aproxima al número algebraico cúbico

\[ 1.754877666247\ldots, \]

que es una raíz de la ecuación

\[ x^3=2x^2-x+1. \]

Si las niñas deben aparecer en grupos de al menos tres, el número de disposiciones es

\[ 1,\;1,\;1,\;2,\;4,\;7,\;11,\;17,\;27,\;44,\;72,\ldots \]

y la ecuación correspondiente,

\[ x^4-2x^3+x^2-1=0, \]

se factoriza en dos ecuaciones cuadráticas, y tenemos cuatro números algebraicos, cada uno de grado dos. Ya hemos conocido dos de ellos, \(\tau\) y \(\sigma\), y encontraremos los otros dos como las «unidades de Eisenstein» en el próximo capítulo.

Para niñas en grupos de cuatro o más, los números y la ecuación son de grado cinco:

\[ x^5-2x^4+x^3-1=0. \]

La raíz importante es

\[ x=1.528946354519\ldots \]

Vemos así que problemas matemáticos sencillos conducen en ocasiones a números algebraicos, normalmente cuadráticos o cúbicos. Terminaremos con cuatro temas más, el último de los cuales es infantilmente simple, pero conduce a un número algebraico sorprendentemente complicado.

El triángulo de Calabi

Hay, evidentemente, tres cuadrados iguales máximos que pueden inscribirse en un triángulo equilátero (Figura 7.23). Eugenio Calabi descubrió el sorprendente hecho de que existe otra forma única de triángulo en la que aparecen tres cuadrados iguales máximos. En el triángulo de Calabi (Figura 7.24), la razón entre el lado mayor y los otros dos es un número algebraico

\[ x=1.55138752455\ldots, \]

raíz de

\[ 2x^3-2x^2-3x+2=0. \]

Figura 7.23. Triángulo equilátero.

Figura 7.24. Triángulo de Calabi.

El mayor pequeño hexágono de Graham

¿Cuál es el hexágono de mayor área que puede existir si ninguna pareja de vértices está separada por más de una unidad? Ron Graham demostró que...

La respuesta es la mostrada en la Figura 7.25, cuya área

\[ A=0.674981\ldots \]

es un número algebraico de grado \(10\) que satisface la ecuación

\[ 4096A^{10} -8192A^9 -30084A^8 -30\,848A^7 +21\,056A^6 +146\,496A^5 \] \[ -221\,360A^4 +1232A^3 +144\,464A^2 -78\,488A +11\,993 =0, \]

y es mayor que el área del hexágono regular,

\[ \frac{3\sqrt3}{8}=0.649519\ldots \]

Figura 7.25. El mayor pequeño hexágono de Graham.

Puntos periódicos

En el Capítulo 6 nos preguntábamos cuántas barajadas de un determinado tipo eran necesarias para devolver las cartas a sus posiciones originales. Los matemáticos también han considerado barajadas de colecciones infinitas. Incluso para «barajadas» muy sencillas, tales problemas pueden conducir a números algebraicos complicados.

Por ejemplo, bajo la transformación

\[ x\rightarrow x^2-2 \]

de los números comprendidos entre \(-2\) y \(2\), las siguientes cadenas

\[ 1.532088886\ldots \rightarrow 0.347296355\ldots \rightarrow -1.879385241\ldots \rightarrow 1.532088886\ldots \]

\[ 1.2469796037\ldots \rightarrow -0.4450418679\ldots \rightarrow -1.8019377358\ldots \rightarrow 1.2469796037\ldots \]

tienen período \(3\). Son raíces de

\[ x^3-3x+1=0 \]

y

\[ x^3+x^2-2x-1=0. \]

Sharkovsky demostró un magnífico teorema: si una aplicación continua (una «barajadora suave») de los números de un intervalo posee un número de cierto período, entonces también existen números con todos los períodos que aparecen más tarde en la «sucesión de barajado» de Sharkovsky. Esta «sucesión» consiste realmente en una sucesión infinita de sucesiones, seguida de una sucesión inversa:

\[ 3,\;5,\;7,\;9,\ldots, \] \[ 6,\;10,\;14,\;18,\ldots, \] \[ 12,\;20,\;28,\;36,\ldots, \] \[ 24,\;40,\;56,\;72,\ldots, \] \[ \cdots \] \[ 32,\;16,\;8,\;4,\;2,\;1. \]

Secuencia de Sharkovsky.

Como \(3\) es el primer término de la secuencia de Sharkovsky, sabemos que debe existir un número de cualquier período deseado para la aplicación

\[ x\rightarrow x^2-2. \]

Por ejemplo,

\[ 2\rightarrow2\rightarrow\cdots \]

y

\[ -1\rightarrow-1\rightarrow\cdots \]

tienen período \(1\), y

\[ \frac{\sqrt5-1}{2} = 0.618033988749\ldots \rightarrow -1.618033988746\ldots \rightarrow 0.618033988749\ldots \]

tiene período \(2\). Éste es un ejemplo del eslogan de James Yorke:

Cuando \(c\) disminuye desde \(1\) hasta \(0\), la «barajadora»

\[ x\rightarrow cx^2-2 \]

pierde cada vez más términos iniciales de la secuencia de Sharkovsky.

El período de un punto determinado se duplica cuando un parámetro de la función atraviesa ciertos valores críticos. Feigenbaum ha descubierto que estos «puntos de bifurcación» están espaciados aproximadamente como una progresión geométrica, con razón límite

\[ F_1=4.6692016090\ldots \]

Casi con toda seguridad, el número de Feigenbaum no es algebraico, sino trascendente, como estudiaremos en el próximo capítulo.

La sucesión «look and say»

¿Cuántas cifras tiene el término \(n\)-ésimo de la sucesión

\[ 1,\; 11,\; 21,\; 1211,\; 111221,\; 312211,\; 13112221,\; 1113213211,\; 31131211131221,\ldots\;? \]

¿Has adivinado ya la regla general? El primer término consta de un único «uno», de modo que el segundo es «un uno». Éste consta de dos «unos», por lo que el tercero es «dos unos». A su vez, éste está formado por un «dos» y un «uno», lo que produce «un dos, un uno», y así sucesivamente.

Puede demostrarse que el número de cifras del término \(n\)-ésimo es aproximadamente proporcional a

\[ 1.3035772690342963912570991121525518907307025046594\ldots \]

donde la ecuación algebraica más sencilla que define el número anterior es

\[ \begin{aligned} x^{71} &-x^{69} -2x^{68} -x^{67} +2x^{66} +2x^{65} +x^{64} -x^{63} -x^{62} -x^{61} -x^{60} -x^{59}\\ &+2x^{58} +5x^{57} +3x^{56} -2x^{55} -10x^{54} -3x^{53} -2x^{52} +6x^{51}\\ &+6x^{50} +x^{49} +9x^{48} -3x^{47} -7x^{46} -8x^{45} -8x^{44} +10x^{43}\\ &+6x^{42} +8x^{41} -5x^{40} -12x^{39} +7x^{38} -7x^{37} +7x^{36} +x^{35}\\ &-3x^{34} +10x^{33} +x^{32} -6x^{31} -2x^{30} -10x^{29} -3x^{28} +2x^{27}\\ &+9x^{26} -3x^{25} +14x^{24} -8x^{23} -7x^{21} +9x^{20} +3x^{19} -4x^{18}\\ &-10x^{17} -7x^{16} +12x^{15} +7x^{14} +2x^{13} -12x^{12} -4x^{11} -2x^{10}\\ &+5x^{9} +x^{7} -7x^{6} +7x^{5} -4x^{4} +12x^{3} -6x^{2} +3x -6 =0. \end{aligned} \]

Referencias

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Richard B. Austin y Richard K. Guy. «Binary sequences without isolated ones». Fibonacci Quarterly, 16 (1978), 84–86; MR 57 #5778.

Petr Beckmann. A History of π. The Golem Press, Boulder (Colorado), 4.ª edición, 1977.

John H. Conway. «The weird and wonderful chemistry of audioactive decay». Eureka, 1985, pp. 5–18.

Richard Dedekind. Stetigkeit und Irrationalzahlen. Braunschweig, 1872.

Howard Eves. An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston, Nueva York, 4.ª edición, 1976; especialmente p. 201, problema de estudio 7.11(c).

G. A. Freiman. Diophantine Approximations and the Geometry of Numbers (en ruso). Kalinin Gosudarstv. Univ., Kalinin, 1975.

Ronald L. Graham. «The largest small hexagon». Journal of Combinatorial Theory, Serie A, 18 (1975), 165–170; MR 50 #12803.

F. Lindemann. «Ueber die Zahl π». , 20 (1882), 213–225.

Imaginando los Números Imaginarios

Históricamente, los números complejos surgieron por primera vez al resolver ecuaciones cuadráticas. Podemos resolver la ecuación

\[ x^2-x-6=0 \]

ya sea factorizándola como

\[ (x-3)(x+2)=0, \]

utilizando la conocida fórmula general, o escribiéndola como

\[ \left(x-\frac12\right)^2 = 6\frac14 = \left(2\frac12\right)^2, \]

de donde obtenemos las soluciones

\[ x=\frac12\pm2\frac12, \]

es decir, \(3\) y \(-2\), respuestas perfectamente razonables y sin ninguna dificultad.

Pero para la ecuación

\[ x^2-2x+2=0, \]

llegamos a

\[ (x-1)^2=-1, \]

y, puesto que los cuadrados de los números reales son positivos (o, en el peor de los casos, nulos), parece que no existen raíces. Pero si nos permitimos inventar un número llamado «la raíz cuadrada de menos uno», podríamos obtener

\[ x-1=\pm\sqrt{-1}, \]

y por tanto

\[ x=1+\sqrt{-1} \qquad\text{o}\qquad x=1-\sqrt{-1}. \]

¿Por qué estas expresiones parecen absurdas?

«¡Por favor, coja un número!»

¡Los números imaginarios son reales!
¡Los números complejos son simples!

Los primeros investigadores estaban muy desconcertados por la dudosa naturaleza de estos nuevos números, y recibieron toda clase de críticas e insultos. A pesar de ello, algunos valientes siguieron las fórmulas allí donde les llevaban y parecieron no cometer errores.

Aunque Gauss, Argand y Wessel aclararon el asunto hace casi doscientos años, el misterio aún persiste en la mente de algunas personas. De hecho, todavía llamamos «imaginarias» a las raíces cuadradas de números negativos, aunque, como veremos, son tan «reales» como los números reales. Resultan ser de un valor incalculable en muchas aplicaciones de las matemáticas, la ingeniería, la física y casi cualquier otra ciencia. Además, estos números obedecen todas las reglas que ya conoces para los números «reales».

También podemos señalar que los llamados números reales no son tan reales como pudiera parecer y tienen poca relación con la realidad física. ¿Corresponde realmente \(\sqrt2\) a algo del mundo físico? La definición de \(\sqrt2\) como la razón entre la diagonal de un cuadrado y su lado forma parte de la geometría euclídea teórica y supone una precisión infinita de medida que es físicamente imposible.

La geometría que los físicos han utilizado desde Einstein ya no es euclídea, y la diagonal de un cuadrado suficientemente grande podría diferir apreciablemente de \(\sqrt2\) veces su lado. Incluso si la geometría a gran escala de la física fuera euclídea, después de la teoría cuántica parece improbable que lo sea en el nivel atómico, o incluso que el concepto tenga sentido. Se ha cuestionado si el espacio puede dividirse más allá de la longitud de Planck, aproximadamente \(1.05457266\times10^{-34}\), o del intervalo de tiempo de Planck, del orden de \(10^{-43}\) segundos.

¡No! La raíz cuadrada de dos, como otros números de precisión infinita tales como \(e\) y \(\pi\), no es realmente real en sentido físico. Todos ellos son creaciones de la mente del matemático: conceptos matemáticos abstractos que sólo corresponden aproximadamente a objetos del mundo real.

De hecho, la aparición de cada nuevo tipo de número ha sido recibida con reacciones de asombro.

Cuando se introdujeron los números negativos, fueron considerados imposibles. ¿Qué significa poseer \(-3\) manzanas? Por supuesto, \(-3\) no es un número «real». Pero hoy parece perfectamente razonable hablar de temperaturas negativas o de saldos bancarios negativos.

También reinó la consternación cuando Pitágoras descubrió los números inconmensurables. La palabra «irracional» tiene etimológicamente el mismo origen que «irrazonable», mientras que «sordo» (surd) está relacionado de forma semejante con «absurdo».

Sin duda, cuando se introdujeron por primera vez las fracciones, la gente se preguntó qué podía significar que \(4/5\) de una persona existieran, y todavía nos resulta curioso que se nos diga que la familia media tiene \(2.3\) hijos (Figura 8.1).

Incluso los propios números enteros son construcciones artificiales: un par de faisanes es algo real, pero el número \(2\) es una abstracción teórica. Vimos en el Capítulo 1 que algunos lenguajes primitivos ni siquiera poseen nombres para los números abstractos.

Figura 8.1. La familia media.

Comprendiendo los números complejos

Lo que realmente es un número real es una distancia acompañada de una dirección dada por su signo, medida respecto a una cierta unidad.

Así, en la Figura 8.2, el número \(x\) es la razón \(OX/OU\), medida respecto a una longitud fija \(OU\), y \(x\) sería negativo si \(X\) estuviera a la izquierda de \(O\).

Figura 8.2. Lo que realmente es un número real.

Para los números reales, las únicas direcciones posibles son izquierda y derecha sobre una recta fija. Con el mismo espíritu, podemos definir los números complejos como distancias tomadas en direcciones arbitrarias dentro de un plano fijo.

Un número complejo es un punto del plano en el que existe un segmento orientado distinguido \(OU\), de longitud una unidad. En particular, definimos

\[ i=\sqrt{-1} \]

como el punto \(I\), situado a una unidad de \(O\) en una dirección de \(90^\circ\) respecto de \(OU\) (Figura 8.3). \(O\), \(U\) e \(I\) se denominan \(0\), \(1\) e \(i\).

Para estos nuevos números podríamos definir la suma y el producto de cualquier manera, pero lo haremos de forma que encajen con las reglas que ya conocemos para los números reales, donde sumar \(2\) equivale a desplazarse dos unidades hacia la derecha sobre la recta real y multiplicar por \(3\) significa ampliar la escala por un factor \(3\), manteniendo fijo el origen \(O\).

Figura 8.3. Lo que realmente es un número complejo.

Desplazamientos y giros: sumar y multiplicar mediante geometría

Utilizaremos la palabra desplazamiento para un movimiento en el que todo el plano se traslada sin ninguna rotación ni deformación. Por un giro entenderemos una rotación combinada con una expansión o una contracción, permaneciendo fijo el punto \(O\).

Para sumar un número fijo \(K\) a cada punto del plano, aplicamos el desplazamiento que lleva \(O\) a \(K\) (Figura 8.4(a)). Para multiplicar por \(K\), realizamos el giro que lleva \(U(=1)\) a \(K\) (Figura 8.4(b)).

La resta y la división no requieren una consideración aparte. Para restar \(c\), utilizamos el desplazamiento único que lleva \(c\) a \(O(=0)\). Para dividir entre \(c\), utilizamos el giro único que lleva \(c\) a \(1\).

Figura 8.4. (a) El desplazamiento «+\(K\)» que suma el número \(K\). (b) El giro «\(\times K\)» que multiplica por \(K\).

Por qué funcionan las reglas

Las definiciones geométricas poseen propiedades aritméticas muy elegantes. Un desplazamiento seguido de otro desplazamiento es de nuevo un desplazamiento. Por ejemplo, el desplazamiento «+\(b\)» seguido del desplazamiento «+\(c\)» lleva \(0\) a \(b+c\) y, por tanto, coincide con el desplazamiento «+\((b+c)\)». Esto establece la ley asociativa de la suma:

\[ (a+b)+c=a+(b+c). \]

Y si sustituimos los desplazamientos por giros, obtenemos de manera análoga la ley asociativa de la multiplicación:

\[ (ab)c=a(bc). \]

De hecho, todas las reglas algebraicas poseen explicaciones geométricas sencillas.

Figura 8.5. (a) El giro «\(\times(-1)\)». (b) Dos giros sucesivos «\(\times i\)».

El giro «\(\times(-1)\)» es simplemente un giro de media vuelta alrededor de \(O\) (Figura 8.5(a)), mientras que el giro «\(\times i\)» es un cuarto de vuelta alrededor de \(O\), y dos cuartos de vuelta producen una media vuelta (Figura 8.5(b)). Por tanto, si seguimos el giro «\(\times i\)» mediante otro «\(\times i\)», obtenemos el mismo efecto que «\(\times(-1)\)». Así pues,

Nuestras definiciones geométricas han producido un sistema de números que posee una raíz cuadrada de \(-1\) y satisface las reglas algebraicas habituales.

Los números enteros de Gauss

¿Qué números complejos son los más análogos a los números enteros ordinarios? El gran Gauss sugirió que llamáramos entero complejo a cualquier número de la forma

\[ a+bi, \]

donde \(a\) y \(b\) son enteros ordinarios, \[ \ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots \] Actualmente llamamos a estos números enteros gaussianos. Forman una red cuadrada en el plano complejo (Figura 8.6).

Figura 8.6. Los enteros gaussianos.

Gauss descubrió el maravilloso hecho de que sus enteros complejos pueden factorizarse de manera única en números primos gaussianos. Todo entero ordinario, positivo o negativo, es de forma única el producto de una potencia de \(-1\) y de potencias de números primos positivos. Análogamente, Gauss encontró que

Figura 8.7. (a) Los enteros gaussianos «positivos». (b) Los números primos gaussianos.

Figura 8.8. Obteniendo un resto comprendido entre \(-\tfrac12|n|\) y \(\tfrac12|n|\) cuando se divide entre \(n\).

Los números gaussianos «positivos» son los situados en la región sombreada de la Figura 8.7(a).

Los primeros números primos gaussianos (positivos), rodeados en la Figura 8.7(a), son

\[ 1+i,\; 2-i,\; 2-i,\; 3+2i,\; 3+i,\; 4+i,\; 4-i,\; 5+2i,\; 5-2i,\; 6+i,\; 6-i,\; 5+4i,\; 5-4i,\; 7,\; 7+2i,\; 7-2i,\ldots \]

y pueden obtenerse más números primos gaussianos a partir de la Figura 8.7(b), donde hemos incluido también sus múltiplos por potencias de \(i\), además de los «positivos».

Cuando demostramos el teorema de factorización única para los enteros ordinarios en el Capítulo 5, sólo utilizamos el hecho de que se puede dividir un número entre otro y obtener un resto más pequeño. De hecho, si permitimos restos negativos, puede obtenerse un resto de tamaño hasta

\[ \frac12|n| \]

al dividir entre \(n\) (Figura 8.8), donde \(|n|\) es la distancia desde \(0\) hasta \(n\).

La Figura 8.9 muestra que todo entero gaussiano está a una distancia menor que

\[ \frac{|n|}{\sqrt2} \]

de un múltiplo de un entero gaussiano \(n\). Puesto que

\[ \frac1{\sqrt2}<1, \]

el resto es menor en tamaño que el divisor y nuestra demostración de la factorización única funciona igualmente para los enteros gaussianos.

Figura 8.9. El tamaño del resto al dividir entre un entero gaussiano.

Veamos por qué \(13\) no es primo en el sentido gaussiano. Por el criterio de Wilson sabemos que \(13\) divide a

\[ 12!+1= 1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8\times9\times10\times11\times12+1. \]

Trabajando módulo \(13\), esto es congruente con

\[ 1\times2\times3\times4\times5\times6 \times(-6)\times(-5)\times(-4)\times(-3)\times(-2)\times(-1)+1, \]

que es

\[ (6!)^2+1=(6!)^2+i^2=(6!+i)(6!-i), \]

de modo que, como entero gaussiano, \(13\) no puede ser primo, pues divide al producto \((6!+i)(6!-i)\) sin dividir a ninguno de los factores.

(Obsérvese que los múltiplos gaussianos de \(13\) tienen la forma \(13a+13bi\)). Si

\[ a+bi \]

es un primo gaussiano «positivo», entonces también lo es

\[ a-bi, \]

y \(13\) es divisible por

\[ (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2, \]

por lo que \(13\) debe ser de esta forma.

Un argumento semejante muestra que un número primo ordinario \(p\) se descompone en el sentido gaussiano precisamente cuando

\[ p+1 \]

no es múltiplo de \(4\), estableciendo así la famosa afirmación de Fermat:

Teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados.

En el mundo gaussiano,

\[ 2=(1+i)(1-i)=1^2+1^2, \]

\[ 3 \text{ sigue siendo primo,} \]

\[ 5=(2+i)(2-i)=2^2+1^2, \]

\[ 7 \text{ sigue siendo primo,} \]

\[ 13=(3+2i)(3-2i)=3^2+2^2. \]

La representación de un número primo como suma de dos cuadrados, cuando existe, es única.

El discípulo de Gauss, Eisenstein, sugirió un sistema alternativo de «números enteros» complejos. Los enteros de Eisenstein son los núm...

Los enteros de Eisenstein son los números

\[ a+b\omega, \]

donde

\[ \omega=\frac{-1+i\sqrt3}{2} \]

es una de las raíces de

\[ x^3=1, \]

mientras que las otras son

\[ 1 \qquad\text{y}\qquad \omega^2=\frac{-1-i\sqrt3}{2}. \]

Los enteros de Eisenstein forman una red triangular (Figura 8.10(a)). La Figura 8.10(b) es semejante a la Figura 8.9 y muestra que todo entero de Eisenstein se encuentra a una distancia menor que

\[ \frac{|n|}{\sqrt3} \]

de algún múltiplo de un entero de Eisenstein dado \(n\).

Por ello, los enteros de Eisenstein también poseen factorización única. Esta vez existen seis unidades de Eisenstein:

\[ \pm1,\qquad \pm\omega,\qquad \pm\omega^2, \]

y la afirmación precisa es:

Figura 8.10. (a) La red triangular de los enteros de Eisenstein. (b) El tamaño del resto al dividir entre un entero de Eisenstein.

donde los números «positivos» son los situados en el sector de \(60^\circ\) de la Figura 8.11(a), donde nuevamente hemos rodeado los números primos. La Figura 8.11(b) muestra la hermosa simetría de estos primos cuando multiplicamos los «positivos» por las unidades de Eisenstein.

El análogo del teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados es que un número primo ordinario \(p\) puede escribirse en la forma

\[ a^2-ab+b^2 = (a+b\omega)(a+b\omega^2). \]

Figura 8.11. (a) Los números de Eisenstein «positivos». (b) Los números primos de Eisenstein.

precisamente cuando \(3\) no divide a \(p+1\). Éstos son exactamente los números primos ordinarios que se factorizan en el mundo de los enteros de Eisenstein:

\[ 3=(2+\omega)(2+\omega^2) =-\omega(2+\omega)^2, \]

\[ 7=(3+\omega)(2+\omega^2), \]

\[ 13=(4+\omega)(4+\omega^2), \]

\[ 19=(5+2\omega)(5+2\omega^2), \]

\[ 31=(6+\omega)(6+\omega^2), \]

y así sucesivamente. Son precisamente los números primos que pueden expresarse en la forma

\[ 3m^2+n^2. \]

Para ver esto, utilizamos una de las tres formas de

\[ a^2-ab+b^2: \]

\[ 3\left(\frac a2\right)^2 +\left(\frac a2-b\right)^2, \]

\[ 3\left(\frac b2\right)^2 +\left(\frac b2-a\right)^2, \]

\[ 3\left(\frac{a-b}{2}\right)^2 +\left(\frac{a+b}{2}\right)^2, \]

según sea par \(a\), \(b\) o \(a+b\).

¿Existe siempre factorización única?

No era evidente que los enteros ordinarios poseyeran una factorización única en números primos, y nuestras demostraciones para los enteros gaussianos y de Eisenstein (que implican \(\sqrt{-1}\) y \(\sqrt{-3}\)) dependían de hechos geométricos relacionados con cuadrados y triángulos equiláteros.

De hecho, para los números

\[ a+b\sqrt{-5}, \]

ni siquiera es cierto. En este sistema numérico, \(6\) se descompone de dos maneras distintas:

\[ 6=2\times3 =(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}), \]

y ninguno de los números \(2\), \(3\), \(1+\sqrt{-5}\), \(1-\sqrt{-5}\) puede factorizarse más.

Al efectuar divisiones en este sistema numérico, no siempre es posible obtener un resto menor que el divisor. La Figura 8.12 muestra la razón.

La distancia desde las esquinas del rectángulo sombreado hasta el múltiplo entero más próximo de \(|d|\) es

\[ \frac{\sqrt3}{2}|d|, \]

de modo que existirán enteros próximos a esas esquinas que estén a una distancia mayor que \(|d|\) del múltiplo entero más cercano.

Figura 8.12. Múltiplos enteros de \(d\) en el sistema numérico \(a+b\sqrt{-5}\).

Los nueve discriminantes mágicos

¿Para qué números negativos \(-d\) conduce \(\sqrt{-d}\) a un sistema numérico con factorización única en números primos? Actualmente se sabe que \(-d\) debe ser uno de los llamados números de Heegner:

\[ -1,\; -2,\; -3,\; -7,\; -11,\; -19,\; -43,\; -67,\; -163. \]

(En todos los casos excepto en los dos primeros debemos permitir, como enteros, números de la forma \(a+b\sqrt{-d}\) en los que \(a\) y \(b\) son semienteros, tal como hicimos para los enteros de Eisenstein.)

Durante mucho tiempo los matemáticos conocieron estos nueve números, pero se encontraban en la frustrante situación de no saber si podía existir alguno más. El problema de decidir si realmente existía un décimo se convirtió en un famoso problema, conocido como el problema del décimo discriminante.

En 1936 Heilbronn y Linfoot demostraron que un décimo valor de \(d\) debía ser mayor que \(10^9\). En 1952 Heegner publicó una demostración de que la lista de nueve era completa, aunque los expertos albergaron dudas acerca de su validez. En 1966–67 dos jóvenes matemáticos, Harold Stark en los Estados Unidos y Alan Baker en Gran Bretaña, obtuvieron independientemente demostraciones que convencieron a todo el mundo. La historia no terminó realmente ahí, porque uno o dos años después Stark realizó un examen cuidadoso y detallado de...

Stark examinó posteriormente la demostración de Heegner y descubrió que las críticas habían sido injustas: la demostración era esencialmente correcta.

Estos números poseen muchas propiedades interesantes. Euler descubrió que la fórmula

\[ n^2-n+41 \]

produce los números primos

\[ 41,\;43,\;47,\;53,\;61,\;71,\;83,\;97,\;113,\;131,\;151,\;173, \] \[ 197,\;223,\;251,\;281,\;313,\;347,\;383,\;421,\;461,\;503, \] \[ 547,\;593,\;641,\;691,\;743,\;797,\;853,\;911,\;971, \] \[ 1033,\;1097,\;1163,\;1231,\;1301,\;1373,\;1447,\;1523,\;1601 \]

cuando tomamos

\[ n=1,2,3,\ldots,40. \]

¿Cuál es la explicación? La ecuación

\[ x^2-x+41=0 \]

tiene soluciones

\[ x=\frac12(1\pm\sqrt{-163}), \]

y puede demostrarse que, para un número \(k>1\), la fórmula

\[ n^2-n+k \]

representa números primos para los valores consecutivos \(n=1,2,\ldots,k-1\), siempre que \(1-4k\) sea uno de los números de Heegner. Ahora que los conocemos todos, sólo quedan los casos

\[ k=2,\;3,\;5,\;11,\;17 \]

y el caso ya conocido

\[ k=41. \]

Valores para \(n=1,2,\ldots,k-1\)

\[ n^2-n+2 \qquad\Rightarrow\qquad 2 \]

\[ n^2-n+3 \qquad\Rightarrow\qquad 3,\;5 \]

\[ n^2-n+5 \qquad\Rightarrow\qquad 5,\;7,\;11,\;17 \]

\[ n^2-n+11 \qquad\Rightarrow\qquad 11,\;13,\;17,\;23,\;31,\;41,\;53,\;67,\;81,\;101 \]

\[ n^2-n+17 \qquad\Rightarrow\qquad 17,\;19,\;23,\;29,\;37,\;47,\;59,\;73,\;89, \] \[ 107,\;127,\;149,\;173,\;199,\;227,\;257 \]

Otro hecho notable es que los números

\[ e^{\pi\sqrt{43}} = 884736743.999777\ldots, \]

\[ e^{\pi\sqrt{67}} = 147197952743.99999866\ldots, \]

\[ e^{\pi\sqrt{163}} = 262537412640768743.99999999999925007\ldots \]

están sospechosamente próximos a números enteros. ¡Esto no es ninguna casualidad! (El último formó parte de la famosa broma del día de los inocentes de Martin Gardner en 1975.)

De hecho, puede demostrarse que para estos números

\[ X=e^{\pi\sqrt d}, \]

la fórmula

\[ X-744+\frac{196884}{X} -\frac{21493760}{X^2} +\cdots \]

es exactamente un número entero y, de hecho, ¡un cubo perfecto! Para los valores anteriores, \(X\) es tan grande que los términos posteriores son extremadamente pequeños, de modo que \(X\) mismo debe estar muy próximo a un entero.

\[ e^{\pi\sqrt{43}} = 960^3+744 \qquad \text{(aproximadamente)}, \]

\[ e^{\pi\sqrt{67}} = 5280^3+744 \qquad \text{(aún más próximo)}, \]

\[ e^{\pi\sqrt{163}} = 640320^3+744 \qquad \text{(¡extremadamente próximo!)}. \]

Los números de división del círculo de De Moivre

«Acudid al señor De Moivre; él conoce estas cosas mejor que yo.»
— Isaac Newton

Dibujemos un polígono regular centrado en el origen del plano complejo, con uno de sus vértices en el número \(1\) (Figura 8.13). ¿Cuáles son los números complejos correspondientes a los demás vértices? Estos números fueron estudiados por el matemático inglés Abraham De Moivre (1667–1754) mucho antes de que se comprendiera que tenían un significado geométrico.

Figura 8.13. Los números ciclotómicos de De Moivre.

Cuando el polígono es un cuadrado (Figura 8.13(b)), la respuesta es sencilla. Los números (leídos en sentido antihorario) son

\[ 1,\; i,\; -1,\; -i. \]

Llamaremos a éstos los números de De Moivre de cuarto orden. En un triángulo (Figura 8.13(a)) son

\[ 1,\; \frac{-1+i\sqrt3}{2},\; \frac{-1-i\sqrt3}{2}, \]

y los de sexto orden son éstos y sus opuestos:

\[ 1,\; \frac{1+i\sqrt3}{2},\; \frac{-1+i\sqrt3}{2},\; -1,\; \frac{-1-i\sqrt3}{2},\; \frac{1-i\sqrt3}{2}, \]

(de nuevo leídos en sentido antihorario). Los de quinto orden son algo más difíciles: hay que resolver una ecuación cuadrática sobre otra.

¿Qué podemos decir acerca de estos números? ¡Todos ellos son potencias de uno de ellos! Al número de De Moivre que sigue inmediatamente al \(1\) en sentido antihorario lo llamaremos \(\delta_n\) (si el polígono tiene \(n\) vértices), del mismo modo que en nuestra discusión sobre los giros, el giro que lleva \(1\) a \(\delta\) (Figura 8.13(c)) lleva \(\delta\) a \(\delta^2\), \(\delta^2\) a \(\delta^3\), etc. Por tanto, el conjunto completo de números de De Moivre de orden \(n\) es

\[ 1,\; \delta,\; \delta^2,\; \ldots,\; \delta^{\,n-1}, \]

y también vemos que

\[ \delta^n=1. \]

Pero ya vimos que \(\delta_4=i\), que satisface

\[ \delta^2+1=0, \]

de modo que \(\delta^n=1\) no siempre es la ecuación más sencilla satisfecha por \(\delta_n\). La siguiente tabla proporciona la ecuación más simple para \(\delta_n\), con \(n=1,\ldots,12\).

\[ \begin{array}{c|c|c} n & \text{Ecuación más simple} & \text{grado}\\ \hline 1 & \delta-1=0 & 1\\ 2 & \delta+1=0 & 1\\ 3 & \delta^2+\delta+1=0 & 2\\ 4 & \delta^2+1=0 & 2\\ 5 & \delta^4+\delta^3+\delta^2+\delta+1=0 & 4\\ 6 & \delta^2-\delta+1=0 & 2\\ 7 & \delta^6+\delta^5+\delta^4+\delta^3+\delta^2+\delta+1=0 & 6\\ 8 & \delta^4+1=0 & 4\\ 9 & \delta^6+\delta^3+1=0 & 6\\ 10 & \delta^4-\delta^3+\delta^2-\delta+1=0 & 4\\ 11 & \delta^{10}+\delta^9+\delta^8+\delta^7+\delta^6+ \delta^5+\delta^4+\delta^3+\delta^2+\delta+1=0 & 10\\ 12 & \delta^4-\delta^2+1=0 & 4 \end{array} \]

De hecho, el número de De Moivre de orden \(n\), \(\delta_n\), es un número algebraico cuyo grado es el valor de la función \(\varphi(n)\) de Euler. Las soluciones de esta ecuación son todas las raíces primitivas \(n\)-ésimas de la unidad. Satisfacen

\[ x^n=1 \]

para \(k=n\), pero para ningún valor menor de \(k\).

Decíamos que \(\delta_5\) podía encontrarse resolviendo una ecuación cuadrática sobre otra. En realidad,

\[ \delta_5= \frac14 \left( -1+\sqrt5+i\sqrt{10+2\sqrt5} \right), \]

como puede comprobarse escribiendo la ecuación

\[ \delta^4+\delta^3+\delta^2+\delta+1=0 \]

en la forma

\[ \left( \delta^2+\frac12\delta+1 \right)^2 = \left( \frac12\delta\sqrt5 \right)^2. \]

El único triángulo racional

Supongamos que tenemos un triángulo cuyos lados son números racionales y cuyos ángulos son también números racionales de grados. Entonces debe ser equilátero.

Podría pensarse que se trata de un resultado muy profundo, pero en realidad es sorprendentemente fácil de verificar utilizando los números de De Moivre.

Situemos nuestro triángulo en el plano complejo (Figura 8.14). Entonces los ángulos indicados serán \(p\) y \(q\) partes de una vuelta completa, donde elegimos el menor valor posible de \(n\). Como los tres desplazamientos indicados suman cero, vemos que el número de De Moivre de orden \(n\), \(\delta=\delta_n\), debe satisfacer

\[ a+b\delta^p+c\delta^q=0, \]

y, por tanto, también deben satisfacerla todos los conjugados algebraicos de \(\delta_n\), de la forma

\[ \delta^k, \]

siempre que \(k\) y \(n\) no tengan factores comunes.

Figura 8.14. ¿Un triángulo equilátero?

Figura 8.15. ¡Como mucho dos de estos triángulos!

Así pues, obtenemos \(\varphi(n)\) ecuaciones de la forma

\[ a+b\delta^{kp}+c\delta^{kq}. \]

y, por tanto, \(\varphi(n)\) triángulos diferentes, como los de la Figura 8.15, todos ellos con la misma base y los mismos ángulos, pero con lados distintos. Esto es absurdo, pues sólo puede haber, como mucho, dos triángulos de este tipo: el original (Figura 8.14) y su reflejo en la base (los dos situados más a la derecha en la Figura 8.15).

Ahora bien, los únicos valores de \(n\) para los cuales \(\varphi(n)\le2\) son

\[ n=1,\;2,\;3,\;4,\;6, \]

de modo que todos los ángulos son al menos \(\tfrac16\) de una vuelta completa (es decir, \(60^\circ\)), y el triángulo debe ser equilátero, ya que sus ángulos suman \(180^\circ\).

El heptadecágono regular

En el Capítulo 7 (Figura 7.22) construimos un polígono regular de \(17\) lados inscrito en una circunferencia de radio \(2\). Sus vértices, \(P_0,P_1,\ldots,P_{16}\), son, por tanto, los dobles de los números de De Moivre de orden 17:

\[ 2,\;2\delta,\;2\delta^2,\;2\delta^3,\ldots,2\delta^{16}, \]

y los puntos del eje son

\[ Q_1:\;\delta+\delta^{16}, \qquad Q_2:\;\delta^3+\delta^{14}, \]

\[ Q_3:\;\delta^5+\delta^{12}, \qquad Q_4:\;\delta^7+\delta^{10}, \]

\[ Q_5:\;\delta^8+\delta^9, \qquad Q_6:\;\delta^2+\delta^{15}, \]

\[ Q_7:\;\delta^4+\delta^{13}, \qquad Q_8:\;\delta^6+\delta^{11}. \]

Ahora \(\delta\) satisface la ecuación

\[ \delta^{16} +\delta^{15} +\delta^{14} +\delta^{13} +\delta^{12} +\delta^{11} +\delta^{10} +\delta^9 \] \[ +\delta^8 +\delta^7 +\delta^6 +\delta^5 +\delta^4 +\delta^3 +\delta^2 +\delta +1=0. \]

Escribamos las potencias de \(\delta\) en el orden

\[ \delta,\; \delta^3,\; \delta^9,\; \delta^{10},\; \delta^{13},\; \delta^5,\; \delta^{15},\; \delta^{11}, \] \[ \delta^{16},\; \delta^{14},\; \delta^8,\; \delta^7,\; \delta^4,\; \delta^{12},\; \delta^2,\; \delta^6, \]

donde los exponentes, módulo \(17\), son

\[ 1,\;3,\;3^2,\;3^3,\;3^4,\;3^5,\;3^6,\;3^7, \] \[ 3^8,\;3^9,\;3^{10},\;3^{11},\;3^{12},\;3^{13}, \;3^{14},\;3^{15}. \]

Tomando términos alternos obtenemos los dos números

\[ \alpha= \delta+\delta^9+\delta^{13}+\delta^{15} +\delta^{16}+\delta^8+\delta^4+\delta^2, \]

\[ \beta= \delta^3+\delta^{10}+\delta^5+\delta^{11} +\delta^{14}+\delta^7+\delta^{12}+\delta^6, \]

de modo que

\[ \alpha+\beta=-1. \]

Si multiplicamos \(\alpha\) por \(\beta\), obtenemos la suma de \(64\) términos, formados por todos los números \(\delta,\delta^2,\ldots,\delta^{16}\), cada uno repetido cuatro veces, por lo que

\[ \alpha\beta=-4, \]

y

\[ \alpha= \frac{-1+\sqrt{17}}2, \qquad \beta= \frac{-1-\sqrt{17}}2 \]

son las raíces de la ecuación cuadrática

\[ x^2+x-4=0. \]

Repetimos ahora el proceso, tomando términos alternos de \(\alpha\) y \(\beta\), para obtener cuatro números:

\[ a= \delta+\delta^{13}+\delta^{16}+\delta^4, \]

\[ b= \delta^3+\delta^5+\delta^{14}+\delta^{12}, \]

\[ c= \delta^9+\delta^{15}+\delta^8+\delta^2, \]

\[ d= \delta^{10}+\delta^{11}+\delta^7+\delta^6, \]

que satisfacen

\[ a+c=\alpha, \qquad b+d=\beta, \qquad ac=bd=-1, \]

de modo que \(a\) y \(c\), y también \(b\) y \(d\), son las raíces de las ecuaciones

\[ x^2-\alpha x-1=0, \]

\[ x^2-\beta x-1=0. \]

En la construcción geométrica de cualquier vértice del polígono, resolvemos cuatro ecuaciones cuadráticas sucesivas. Nuestra construcción resuelve las dos primeras mediante bisección angular, la tercera mediante el método del Capítulo 7, Figura 7.8, y la última encontrando los dos puntos en los que la recta vertical corta a la circunferencia.

De hecho, en el Capítulo 7, Figura 7.22, cuadrisecamos un cierto ángulo: las bisectrices de dicho ángulo pasan por los puntos

\[ (2a,0),\; (2b,0),\; (2c,0),\; (2d,0), \]

y las cuadrisectrices pasan por

\[ (a,0),\; (b,0),\; (c,0),\; (d,0). \]

Las circunferencias construidas sobre \(YA'\), \(YB'\), \(YC'\) y \(YD'\) resuelven entonces las ecuaciones

\[ x^2-ax+b=0, \] \[ x^2-bx+c=0, \] \[ x^2-cx+d=0, \] \[ x^2-dx+a=0, \]

cortando al eje en \(Q_1,Q_4;\; Q_3,Q_5;\; Q_2,Q_8;\; Q_6,Q_7\), de coordenadas

\[ \delta+\delta^{16}, \; \delta^{13}+\delta^4, \; \delta^5+\delta^{14}, \; \delta^9+\delta^8, \] \[ \delta^{15}+\delta^2, \; \delta^{10}+\delta^7, \; \delta^{11}+\delta^6. \]

Números hipercomplejos

«No pude resistir el impulso —por poco filosófico que pudiera ser— de grabar con un cuchillo en una piedra del puente de Brougham los símbolos fundamentales
\(i^2=j^2=k^2=ijk=-1\).»

Hemos visto que los números complejos son, en muchos aspectos, análogos a parejas de números reales y que tienen mucho que decirnos sobre la geometría del plano...

La geometría. El célebre matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805–1865) dedicó una gran cantidad de tiempo a intentar encontrar un análogo mediante ternas de números reales, con la esperanza de que desempeñaran para la geometría del espacio un papel semejante al que los números complejos desempeñan para la geometría del plano.

Cada mañana, al bajar a desayunar, su joven hijo le preguntaba: «Bueno, papá, ¿ya puedes multiplicar ternas?», pero durante mucho tiempo tuvo que responder moviendo tristemente la cabeza: «No, sólo puedo sumarlas y restarlas».

Hamilton descubrió finalmente que la forma correcta de proceder era usar no tres coordenadas, sino cuatro, e ideó un nuevo sistema numérico al que llamó cuaterniones. El cuaternión típico

\[ q=a+bi+cj+dk \]

tiene una parte escalar (real y unidimensional) \(a\), mientras que su parte «imaginaria» es el vector tridimensional

\[ v=bi+cj+dk. \]

La suma se realiza del modo evidente, pero la multiplicación utiliza

Por ejemplo,

\[ (2+i)(3+j)=6+3i+2j+k, \]

\[ (3+j)(2+i)=6+3i+2j-k, \]

pero

Sin embargo, los cuaterniones sí satisfacen las leyes asociativa y distributiva.

¡Los cuaterniones de Hamilton son realmente útiles en geometría! La rotación de ángulo \(2\theta\) alrededor del vector unitario (de longitud \(1\))

\[ bi+cj+dk, \]

transforma cualquier otro vector

\[ xi+yj+zk \]

en

\[ q^{-1}(xi+yj+zk)q, \]

donde

\[ q=\cos\theta+(bi+cj+dk)\sin\theta. \]

La medida apropiada del «tamaño» de un cuaternión típico

\[ a+bi+cj+dk \]

es su norma

\[ a^2+b^2+c^2+d^2, \]

y una de las primeras cosas que hizo Hamilton después de descubrir sus reglas fue comprobar que la norma del producto de dos cuaterniones es simplemente el producto de sus normas. Esto proporciona la famosa fórmula de las cuatro cuadrados:

\[ (a^2+b^2+c^2+d^2) (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2) = \] \[ (a\alpha-b\beta-c\gamma-d\delta)^2+ (a\beta+b\alpha+c\delta-d\gamma)^2+ \] \[ (a\gamma-b\delta+c\alpha+d\beta)^2+ (a\delta+b\gamma-c\beta+d\alpha)^2. \]

Esta identidad ya había sido enviada por Euler en una carta a Goldbach el 15 de abril de 1705, y fue utilizada por Lagrange en su demostración de la afirmación de Fermat de que todo entero es suma de cuatro cuadrados.

Los cuaterniones también son útiles para representar grupos en matemáticas puras y el espín en física de partículas.

La máquina de los cuaterniones

La Figura 8.16 muestra un pequeño dispositivo que ilustra la multiplicación de cuaterniones.

Consiste en una tarjeta rectangular con \(1\), \(i\), \(j\) y \(k\) escritos sobre ella en diversas orientaciones, suspendida de una varilla mediante una cinta resistente. La varilla es perpendicular al papel, de modo que la cinta aparece siempre retorcida al menos \(90^\circ\) en nuestras figuras. Dos pequeños indicadores están situados a mitad de los bordes de la cinta.

Las rotaciones que sustituyen \(x\) por

\[ i^{-1}xi, \qquad j^{-1}xj, \qquad k^{-1}xk \]

son las medias vueltas mostradas en la Figura 8.16.

Figura 8.16. La máquina de los cuaterniones.

Figura 8.16. Cuatro posiciones de la máquina de los cuaterniones.

Figura 8.17. \(i^4=1\).

Si realizamos cualquier sucesión de estos movimientos, entonces, por supuesto, la rotación compuesta resultante queda revelada por la orientación final de la tarjeta. Pero nuestro pequeño indicador de signo también mostrará el signo del producto de los cuaterniones.

Después de haber efectuado cualquier número de multiplicaciones por \(i\), \(j\) y \(k\) de esta manera, se permite mover la tarjeta para simplificar el resultado, siempre que se conserve cuidadosamente su orientación durante todo el movimiento.

Por ejemplo, la última configuración de la Figura 8.17 puede desenredarse hasta la primera configuración, manteniendo fija la orientación (con \(i\) invertida y el \(1\) mirando al observador).

Hamilton fue anticipado en ciertos aspectos por el gran banquero y matemático español Rodríguez.

Números de Cayley

«Es posible formar una teoría análoga con siete raíces imaginarias de \(-1\).»
Arthur Cayley, 1845

Arthur Cayley (1821–1895) descubrió un álgebra de «números» de ocho dimensiones, llamados octoniones o números de Cayley, que poseen siete unidades imaginarias distintas.

Los números de Cayley han sido utilizados para explicar ciertas propiedades especiales de los espacios de siete y ocho dimensiones. El número de Cayley típico tiene la forma

\[ a+bi_0+ci_1+di_2+ei_3+fi_4+gi_5+hi_6, \]

donde cada una de las ternas

\[ (i_0,i_1,i_3),\; (i_1,i_2,i_4),\; (i_2,i_3,i_5), \] \[ (i_3,i_4,i_6),\; (i_4,i_5,i_0),\; (i_5,i_6,i_1),\; (i_6,i_0,i_2) \]

se comporta como los símbolos de Hamilton \((i,j,k)\).

Toda rotación del espacio de ocho dimensiones puede escribirse en la forma

\[ x \longmapsto ((((((xc_1)c_2)c_3)c_4)c_5)c_6)c_7 \]

para números de Cayley adecuados \(c_1,c_2,c_3,c_4,c_5,c_6,c_7\).

¡Atención! Los números de Cayley no son asociativos, por lo que esto no puede escribirse como

\[ xc_1c_2c_3c_4c_5c_6c_7. \]

En 1898 Hurwitz demostró que las álgebras de los números reales, los números complejos, los cuaterniones y los números de Cayley son las únicas en las que todos los operadores de multiplicación por vectores unitarios preservan las distancias.

J. F. Adams demostró en 1956 que sólo para

\[ n=1,\;2,\;4,\;8 \]

pueden transformarse los vectores de dimensión \(n\) en un álgebra en la que la división (excepto por \(0\)) sea siempre posible.

Referencias

H. A. Heilbronn y E. H. Linfoot. On the imaginary quadratic corpora of class-number one. Quart. J. Math. (Oxford), 5 (1934), 293–301; Zbl. 10.337.

A. Hurwitz. Über die Komposition quadratischer Formen von beliebig vielen Variablen. Nachr. Gesell. Wiss. Göttingen, 1898, 309–316.

D. H. Lehmer. On imaginary quadratic fields whose class number is unity. Bull. Amer. Math. Soc., 39 (1933), 360.

Harold M. Stark. On complex quadratic fields with class number equal to one. Trans. Amer. Math. Soc., 122 (1966), 112–119; MR 33 #4043.