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Ley del Paralelogramo
Esta página no pretende presentar resultados nuevos, sino mostrar una forma de hacer matemáticas. A partir de fórmulas clásicas —como la de Euler o el teorema de Pitágoras—, se exploran extensiones naturales a dimensiones superiores, conectando geometría, álgebra y combinatoria.
El interés no está tanto en la dificultad técnica como en el proceso: observar patrones, generalizar, contar objetos geométricos, y comprobar que distintas ideas aparentemente alejadas responden a una misma estructura profunda.
Ley del paralelogramo.
La suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales de un n-paralelepípedo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de todas sus aristas.
Generalización del teorema de Pitágoras
La ley del paralelogramo puede verse como una extensión natural del teorema de Pitágoras a situaciones donde los vectores no son necesariamente ortogonales.
Cuando el paralelepípedo es rectangular, es decir, cuando todas sus aristas forman ángulos rectos, la identidad se reduce exactamente al teorema de Pitágoras clásico.
En dimensión dos aparece como la igualdad ‖u+v‖² + ‖u−v‖² = 2‖u‖² + 2‖v‖², y en dimensión tres relaciona los cuadrados de las cuatro diagonales espaciales con los de las doce aristas.
Generalización de la ley del paralelogramo a áreas y volúmenes
La ley del paralelogramo es conocida en su forma clásica para longitudes: la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo coincide con la suma de los cuadrados de sus lados.
En este apartado se muestra cómo esta ley se extiende de manera natural a áreas y volúmenes en dimensiones superiores. La estructura algebraica subyacente es la misma, y el factor que aparece en cada caso depende únicamente de la dimensión geométrica del objeto considerado.
Áreas en un 4-paralelepípedo
Sea un 4-paralelepípedo determinado por los vectores $$ u_1, u_2, u_3, u_4. $$ Trabajaremos con áreas, es decir, con productos exteriores de grado 2.
Caras
Las caras son los paralelogramos determinados por pares de vectores $u_i,u_j$. Por ejemplo, la cara asociada al par $(u_1,u_2)$ es el paralelogramo generado por $u_1$ y $u_2$.
Además, aparecen todas sus traslaciones paralelas a lo largo de las direcciones restantes $u_3,u_4$, dadas por $$ u_1+v,\quad u_2+v, \qquad v = a\,u_3 + b\,u_4,\quad (a,b)\in\{0,1\}^2. $$
Por tanto, a cada par $(u_i,u_j)$ le corresponden exactamente $2^{4-2}=4$ caras paralelas, todas con la misma área $\|u_i\wedge u_j\|$.
La suma de los cuadrados de las áreas de todas las caras es
Paralelogramos diagonales
Las áreas diagonales se obtienen fijando un vector y combinándolo con sumas y restas de los restantes.
En dimensión 4 hay cuatro diagonales asociadas a $u_1$, dadas por
Al elevar al cuadrado y sumar, los términos cruzados se cancelan y se obtiene
Repitiendo el razonamiento para $u_2,u_3$ y $u_4$ y sumando todos los términos se obtiene
Conclusión en dimensión 4
Volúmenes en un 5-paralelepípedo
Sea ahora un 5-paralelepípedo determinado por $$ u_1,u_2,u_3,u_4,u_5. $$ Trabajaremos con productos exteriores de grado 3, que representan volúmenes.
Volúmenes cara
Los volúmenes básicos están determinados por ternas, por ejemplo $(u_1,u_2,u_3)$, y sus traslaciones paralelas
Cada terna genera $2^{5-3}=4$ volúmenes iguales.
Volúmenes diagonales
Los volúmenes diagonales se obtienen fijando un par $(u_i,u_j)$ y combinando los restantes con signos $\pm1$.
Por ejemplo, las diagonales asociadas al par $(u_1,u_2)$ son
Su suma vale
Sumando sobre todos los pares $(u_i,u_j)$ se obtiene finalmente
RESUMEN
$$ \sum_{\text{diag}} \ell^2 \;=\; \sum_{\text{aristas}} \ell^2 $$ $$ \sum_{\text{diag}} A^2 \;=\; 2 \sum_{\text{caras}} A^2 $$ $$ \sum_{\text{diag}} V^2 \;=\; 3 \sum_{\text{3-caras}} V^2 $$Estas identidades muestran que la ley del paralelogramo no es un fenómeno aislado, sino una manifestación general de una estructura pitagórica profunda, válida para longitudes, áreas, volúmenes y, en general, para $k$-volúmenes en dimensión arbitraria.
Importancia matemática
Espacios euclídeos
En los espacios euclídeos, la ley del paralelogramo expresa una propiedad esencial de la distancia y de la geometría métrica.
Cuando los vectores son ortogonales, la ley del paralelogramo se convierte exactamente en el teorema de Pitágoras.
Esta identidad permite definir ángulos, longitudes y distancias mediante el producto escalar, fijando completamente la estructura geométrica del espacio.
Espacios de Hilbert
En dimensión infinita, la ley del paralelogramo deja de ser una curiosidad geométrica y se convierte en un criterio estructural.
Una norma proviene de un producto escalar si y solo si satisface la ley del paralelogramo.
Este hecho caracteriza a los espacios de Hilbert, fundamentales en análisis funcional, mecánica cuántica y teoría de señales.
Producto escalar
La ley del paralelogramo está íntimamente relacionada con la existencia de un producto escalar.
A partir de ella puede reconstruirse el producto escalar mediante la identidad de polarización, mostrando que la información angular está codificada en la norma.
Conclusión
La ley del paralelogramo conecta el teorema de Pitágoras con la geometría moderna y con la estructura profunda de los espacios vectoriales con producto escalar.
Breve historia de la ley del paralelogramo
La identidad que hoy conocemos como ley del paralelogramo no apareció de forma repentina ni fue formulada originalmente con ese nombre. Su contenido matemático se fue construyendo de manera progresiva a lo largo de la historia, a medida que evolucionaron los conceptos de longitud, dirección y suma geométrica.
Antigüedad: el contenido implícito
En la geometría griega clásica, y en particular en los Elementos de Euclides (siglo III a.C.), aparecen resultados geométricos sobre paralelogramos, segmentos y áreas que hoy pueden interpretarse como versiones geométricas de identidades algebraicas relacionadas con sumas de cuadrados.
Sin embargo, estos resultados se expresan siempre para figuras concretas y no como una identidad general entre magnitudes. La ley del paralelogramo, en el sentido moderno, está implícita en esta geometría, pero no aislada ni formulada como un principio independiente.
Edad Moderna: el paralelogramo de fuerzas
Un avance decisivo se produce en los siglos XVII y XVIII con el desarrollo de la mecánica clásica. En los trabajos de Newton, Leibniz y otros autores, el paralelogramo de fuerzas se convierte en una herramienta fundamental para describir la composición de magnitudes dirigidas.
En este contexto aparece claramente la idea de suma geométrica de vectores, aunque todavía no se estudian de forma explícita identidades que relacionen las longitudes de diagonales y lados mediante cuadrados.
Siglo XIX: formulación explícita
La formulación moderna de la ley del paralelogramo se consolida en el siglo XIX, con el desarrollo sistemático del concepto de vector y de las estructuras algebraicas asociadas.
En los trabajos de Grassmann, Hamilton y otros autores, comienzan a aparecer identidades explícitas que relacionan la norma de sumas y diferencias de vectores con las normas individuales, ya muy cercanas a la expresión actual de la ley del paralelogramo.
En esta etapa, la identidad se utiliza de forma consciente, aunque todavía no siempre recibe un nombre específico.
Finales del siglo XIX y siglo XX: la ley como principio estructural
A finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX, con el nacimiento del análisis funcional y el estudio de espacios normados abstractos, la ley del paralelogramo adquiere un significado nuevo y profundo.
En este contexto se demuestra que una norma satisface la ley del paralelogramo si y solo si proviene de un producto escalar. Esta caracterización, fundamental en los espacios de Hilbert, fija definitivamente el papel de la ley y consolida su nombre en la literatura matemática.
La norma asociada a un producto escalar satisface siempre la identidad del paralelogramo, y recíprocamente, si una norma satisface esa identidad entonces existe un producto escalar que la induce. Esta relación se formaliza en la llamada identidad de polarización , que da fórmulas explícitas para construir el producto escalar a partir de la norma en espacios vectoriales reales o complejos.
Desde entonces, la ley del paralelogramo se entiende no solo como una identidad geométrica, sino como un criterio estructural que conecta la geometría clásica con la teoría moderna de espacios vectoriales con producto escalar.
Las diagonales y el centro del paralelepípedo
Existe una observación geométrica fundamental, válida en cualquier dimensión, que subyace a la ley del paralelogramo y a su generalización.
En un n-paralelepípedo definido por los vectores u₁, …, uₙ, las 2n−1 diagonales (las que unen vértices opuestos) se cortan todas en un único punto.
Todas las diagonales se cortan en el punto ½(u₁ + ··· + uₙ), que es el centro del paralelepípedo.
Este hecho es inmediato al observar que cada diagonal une dos vértices cuyas coordenadas binarias son complementarias, y que el punto medio de cualquiera de ellas es siempre el mismo, independientemente de la diagonal elegida.
Visualización en dimensión 2 y 3
En dimensión 2, las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su centro, situado en el punto ½(u+v).
En dimensión 3, las cuatro diagonales del paralelepípedo se cortan en el punto ½(u+v+w).
En el vídeo siguiente se ilustra este hecho de forma explícita mediante construcciones geométricas dinámicas en dimensiones 2 y 3.
Semidiagonales y reconstrucción del paralelepípedo
Si se toma como origen el centro del paralelepípedo, las diagonales quedan naturalmente divididas en semidiagonales. Estas semidiagonales apuntan desde el centro hacia los vértices.
En total hay 2n−1 semidiagonales no redundantes (es decir, no hay dos en la misma diagonal, abreviatur n.r.), pero para n > 2 este número es mayor que la dimensión del espacio.
Esto plantea una cuestión natural:
¿Son realmente necesarias todas las semidiagonales n.r. para determinar un n-paralelepípedo?
Datos esenciales
La respuesta es negativa. Aunque hay muchas semidiagonales n.r., no todas aportan información independiente.
De hecho, basta elegir un conjunto cualquiera de n semidiagonales n.r. para reconstruir completamente el paralelepípedo.
En dimensión 3, por ejemplo, aunque existen cuatro semidiagonales n.r., cualquier terna determina de manera única el paralelepípedo. Las restantes semidiagonales se obtienen automáticamente como combinaciones lineales de las anteriores.
Construcción a partir de semidiagonales
Este hecho permite plantear el problema inverso:
Dado un conjunto de n semidiagonales n.r., ¿cómo se construye explícitamente el paralelepípedo?
En un vídeo posterior se mostrará cómo construir un paralelepípedo tridimensional a partir de tres semidiagonales n.r, y cómo esta idea se generaliza de forma natural a dimensión n.
Para obtener el vídeo se realizó esta página:
Extensión de la fórmula de Euler a un n-paralelepípedo
En un poliedro convexo tridimensional, la fórmula de Euler
$$ \text{vértices} + \text{caras} = \text{aristas} + 2 $$relaciona las distintas componentes geométricas. En dimensiones superiores esta identidad ya no tiene un significado topológico directo, pero en el caso de un n-paralelepípedo aparece una estructura combinatoria natural que generaliza esta idea.
Vértices
Sea un n-paralelepípedo determinado por n vectores linealmente independientes
$$ u_1, u_2, \dots, u_n . $$Sus vértices son las combinaciones lineales
$$ \sum_{i=1}^{n} \varepsilon_i\,u_i, \qquad \varepsilon_i \in \{0,1\}. $$Por tanto, el número total de vértices es
$$ 2^n. $$Aristas
Las aristas se obtienen eligiendo un vector y permitiendo traslaciones a lo largo de combinaciones lineales de los restantes n−1 vectores con coeficientes 0 o 1.
El número total de aristas es
$$ \binom{n}{1}\,2^{\,n-1}. $$Caras de dimensión 2
Las caras (paralelogramos) se obtienen eligiendo un par de vectores y trasladando el paralelogramo que determinan a lo largo de combinaciones lineales de los n-2 vectores restantes con coeficientes 0 y 1.
$$ \binom{n}{2}\,2^{\,n-2}. $$Caras de dimensión superior
De forma análoga, las caras de dimensión superior se obtienen eligiendo más vectores:
$$ \text{número de \(k\)-caras} = \binom{n}{k}\,2^{\,n-k}, \qquad k = 0,1,\dots,n. $$En particular:
- Las \((n-1)\)-caras son $$ \binom{n}{n-1}\,2 = n\cdot 2. $$
- La \(n\)-cara es el propio paralelepípedo: $$ \binom{n}{n}\,2^0 = 1. $$
Suma total de todas las caras
Sumando el número de objetos geométricos de todas las dimensiones se obtiene
$$ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\,2^{\,n-k} = (1+2)^n = 3^n. $$Por tanto, un n-paralelepípedo contiene exactamente \(3^n\) objetos geométricos distintos cuando se consideran vértices, aristas, caras y todas las caras de dimensión superior.
Ejemplo: paralelepípedo en dimensión 3
Para \(n=3\):
$$ \begin{aligned} \text{vértices} &= 2^3 = 8,\\ \text{aristas} &= \binom{3}{1}2^2 = 3\cdot4 = 12,\\ \text{caras} &= \binom{3}{2}2^1 = 3\cdot2 = 6,\\ \text{3-cara} &= 1. \end{aligned} $$Sumando:
$$ 8 + 12 + 6 + 1 = 27 = 3^3. $$Esta identidad extiende conceptualmente la fórmula de Euler, mostrando la estructura combinatoria completa de un paralelepípedo en dimensión arbitraria.
RESUMEN · n-PARALELEPÍPEDOS
LEY DEL PARALELOGRAMO
$$ \sum_{\text{diag}} \ell^2 \;=\; \sum_{\text{aristas}} \ell^2 $$ $$ \sum_{\text{diag}} A^2 \;=\; 2 \sum_{\text{caras}} A^2 $$ $$ \sum_{\text{diag}} V^2 \;=\; 3 \sum_{\text{3-caras}} V^2 $$DIAGONALES CONCURRENTES
$$ \text{Punto de intersección de las diagonales} \;=\; \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n u_i $$GENERALIZACIÓN DE EULER
Epílogo
El recorrido presentado —desde la fórmula de Euler hasta la generalización del teorema de Pitágoras a áreas, volúmenes y \(k\)-volúmenes— no introduce resultados desconocidos, pero sí propone una mirada unificada.
Este es un ejemplo de construcción matemática: partir de casos simples, formular preguntas naturales, generalizar, contar, comprobar identidades y, finalmente, expresar las ideas con claridad.
La matemática no avanza solo por la búsqueda de novedades, sino también por el esfuerzo de comprender mejor lo que ya se sabe, encontrar conexiones inesperadas y comunicar esas ideas de forma accesible.