🌐 Métrica hiperbólica en el modelo del hiperboloide

La siguiente construcción muestra la métrica hiperbólica inducida en el modelo del hiperboloide de una hoja. Este modelo representa el plano hiperbólico de curvatura constante negativa \( K = -1 \), inmerso en un espacio de Minkowski con producto escalar \( (+,+,-) \).

🌐 Métrica en una rama del hiperboloide

Consideramos el hiperboloide de una hoja:

\[ \mathbb{H}^2 = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : z = \sqrt{1 + x^2 + y^2} \} \]

Lo parametrizamos como:

\[ \vec{r}(\theta, \phi) = \begin{bmatrix} \sinh\theta \cos\phi \\ \sinh\theta \sin\phi \\ \cosh\theta \end{bmatrix} \]

Vectores tangentes:

\[ \partial_\theta \vec{r} = \begin{bmatrix} \cosh\theta \cos\phi \\ \cosh\theta \sin\phi \\ \sinh\theta \end{bmatrix}, \quad \partial_\phi \vec{r} = \begin{bmatrix} -\sinh\theta \sin\phi \\ \sinh\theta \cos\phi \\ 0 \end{bmatrix} \]

• \( g_{\theta\theta} = 1 \)
• \( g_{\phi\phi} = \sinh^2\theta \)
• \( g_{\theta\phi} = 0 \)

Métrica:

\[ ds^2 = d\theta^2 + \sinh^2\theta \, d\phi^2, \quad g = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sinh^2\theta \end{pmatrix} \]

θ: φ: