Grupos de simetría

Si el número de pétalos es n, la escena puede representar dos grupos:

C_n : grupo cíclico de orden n. Está formado únicamente por las rotaciones

C_n = { Id, ρ, ρ², ..., ρ^n-1 }.

D_n : grupo diédral (o diedrico) de orden 2n. Está formado por todas las simetrías de un polígono regular de n lados:

n rotaciones y n reflexiones.

D_n = C_n ∪ σC_n

En la escena:
☐ Grupo C_n : aparecen únicamente las figuras obtenidas mediante rotaciones.

☑ Grupo D_n : aparecen además sus imágenes reflejadas, obteniéndose en total 2n figuras.

Definición algebraica

El grupo diédral está generado por dos transformaciones:

• ρ : giro de 360°/n.
• σ : una reflexión.

Cumplen las relaciones:

ρⁿ = Id
σ² = Id
σρσ = ρ^-1

¿Por qué es importante?

• Es el ejemplo más sencillo de grupo no conmutativo.
• Describe todas las simetrías de los polígonos regulares.
• Aparece en mosaicos, bordados, rosetones y mandalas.
• Se utiliza en cristalografía, química y física.
• El grupo D₃ es isomorfo al grupo de permutaciones S₃.
• Muchos objetos naturales poseen simetría diédral.

Resulta sorprendente que toda esta riqueza geométrica surja únicamente a partir de dos transformaciones muy simples:

un giro y un espejo.

Ejemplo: el grupo D₃

La figura siguiente está formada inicialmente por cuatro puntadas.

Las figuras rojas muestran las tres transformaciones del grupo cíclico

C₃ = { Id, ρ, ρ² }

obtenidas mediante rotaciones sucesivas de 120°.

Las figuras azules son las imágenes especulares respecto del eje horizontal de las figuras rojas. Representan el conjunto

σ(C₃) = { σ, σρ, σρ² }

Las figuras rojas y azules muestran conjuntamente las seis transformaciones del grupo diédral

D₃ = C₃ ∪ σC₃

Por tanto, a partir de únicamente cuatro puntadas iniciales, el grupo D₃ genera seis copias de la figura: tres obtenidas por rotación y otras tres obtenidas mediante reflexión.

Ejemplo: Pétalos = rayos

En la siguiente galeria se muestran capturas de una misma figura al variar los pétalos. Se parte de 3 pétalos y 3 rayos, y se dió una puntada de cada color, después simplemente se cambia el númer de pétalos, tomando siempre el mismo número de rayos que de pétalos.