PARTE 1 DE 5

Una fracción cada vez: de la cuádrica a sus secciones

Fijada una fracción irreducible p/q, partimos de la cuádrica que lleva asociada y examinamos dos de sus cortes. En el plano z = 1 aparece la circunferencia de Ford; en el plano x = 1, para p > 0, aparece una elipse. Las ecuaciones y las demostraciones permiten comprobar algebraicamente estas formas y localizar el punto de tangencia.

PARTE 2 DE 5

Animación de círculos y elipses a partir de Farey

Pasamos de una sola fracción a una sucesión completa de Farey. Al variar el orden n, se incorporan las fracciones irreducibles de 0 a 1 y se dibujan sus círculos de Ford junto con las secciones elípticas asociadas en el plano x = 1. La animación permite comparar las curvas y sus puntos de tangencia.

PARTE 3 DE 5

Una misma cuádrica, dos cortes: circunferencia y parábola

Volvemos a fijar una fracción irreducible p/q y estudiamos la cuádrica mediante dos secciones. El corte z = 1 produce la circunferencia de Ford, mientras que el corte y = 1 da una parábola. Se muestran sus ecuaciones y se estudian el eje y la directriz de esta última.

PARTE 4 DE 5

Animación de las parábolas asociadas a las fracciones de Farey

Extendemos el estudio a todas las fracciones de una sucesión de Farey. La animación muestra simultáneamente los círculos de Ford y las parábolas obtenidas al cortar las cuádricas por el plano y = 1. También dibuja los ejes de las parábolas, cuya pendiente en las coordenadas representadas está relacionada con q/p.

PARTE 5 DE 5

Compendio final: las cuádricas y sus secciones en 3D

Como síntesis de lo anterior, volvemos a la representación tridimensional de las superficies cuadráticas asociadas a dos fracciones consecutivas en una serie de Farey (la lista ordenada de las fracciones irreducibles entre 0 y 1 cuyo denominador no supera un número natural n). Puedes modificar las fracciones, elegir los planos de corte y observar las cónicas que aparecen en cada sección. La animación integrada reúne las circunferencias de Ford, las elipses, las parábolas y los segmentos asociados a las fracciones.