Divisores y números con nueves y ceros

Observación

Todo número natural $n$ divide a algún número formado por cifras $9$ seguidas de cifras $0$; es decir, existe un múltiplo suyo de la forma $$99\dots 900\dots 0.$$

Demostración 1

Consideramos los n números $$9,\ 99,\ 999,\ 9999,\ \dots$$ y sus restos módulo $n$.

Si alguno tiene resto $0$ al dividirlo entre n, hemos terminado.

Si no, hay $n$ números y solo $n-1$ restos no nulos posibles, así que dos tienen el mismo resto. Al restarlos obtenemos un múltiplo de $n$ de la forma

$$99\dots 9900\dots 0.$$

Fin de la demostración.

Demostración 2

La fracción $\frac{1}{n}$ tiene expansión decimal periódica, por lo que puede escribirse como

$$\frac{1}{n}=\frac{m}{99\dots 900\dots 0}.$$

Multiplicando en cruz:

$$99\dots 900\dots 0 = m\,n.$$

Luego $n$ divide a un número formado por nueves seguidos de ceros.

Fin de la demostración.

Buscador

Escoge un número n y se verá que n es divisor de un número formado por nueves seguidos de ceros.

Gráfica: número de nueves del primer múltiplo

A cada número natural n le asociamos el número de nueves del primer múltiplo suyo que tiene la forma 99…900…0.

Casos especiales: crecimiento máximo

Lista de números \( n \le 500 \) para los cuales el primer múltiplo de la forma \( 99\ldots 900\ldots 0 \) tiene exactamente \( n-1 \) cifras iguales a 9.

Es decir, son los casos en los que el número de nueves crece al máximo posible.

$$\begin{aligned} 2,\ 7,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 47,\ 59,\ 61,\ 97,\\ 109,\ 113,\ 131,\ 149,\ 167,\ 179,\ 181,\ 193,\\ 223,\ 229,\ 233,\ 257,\ 263,\ 269,\\ 313,\ 337,\ 367,\ 379,\ 383,\ 389,\\ 419,\ 433,\ 461,\ 487,\ 491,\ 499 \end{aligned}$$

Observación: salvo el caso \( n = 2 \), en todos ellos el primer múltiplo ya está formado únicamente por nueves (sin ceros finales).

Relación con la división decimal

Si \(n\) es primo con 10, el número de cifras del período decimal de \( \frac1n \) es el orden de 10 en el grupo multiplicativo módulo \(n\), es decir, el menor entero \(k\) tal que

$$10^k \equiv 1 \pmod n.$$

Ejemplo: la división de \(1/7\)

$$1 \,|\, 7$$

\(10 \div 7 = 1\) y sobra 3    (esto es calcular \(10^1 \bmod 7 = 3\))

\(30 \div 7 = 4\) y sobra 2    (esto es calcular \(10^2 \bmod 7 = 2\))

\(20 \div 7 = 2\) y sobra 6    (esto es calcular \(10^3 \bmod 7 = 6\))

\(60 \div 7 = 8\) y sobra 4    (esto es calcular \(10^4 \bmod 7 = 4\))

\(40 \div 7 = 5\) y sobra 5    (esto es calcular \(10^5 \bmod 7 = 5\))

\(50 \div 7 = 7\) y sobra 1    (esto es calcular \(10^6 \bmod 7 = 1\))

Hemos vuelto al resto 1, así que el proceso se repite.

$$\frac17 = 0,\overline{142857}$$

El período tiene longitud 6, que coincide con el orden de 10 módulo 7.

$$10^6 \equiv 1 \pmod 7 \quad \Rightarrow \quad 7 \mid (10^6 - 1)=999999.$$

Así se ve directamente que el número de cifras del período o el número de nueves del primer múltiplo especial coincide con el orden del grupo generado por las potencias de 10 módulo n.

Puntos especiales sobre la recta \(y=x-1\)

En esta gráfica se señalan los números \(n\) entre 1 y 500 tales que el número de nueves del primer múltiplo de la forma \(99\ldots 900\ldots 0\) es exactamente \(n-1\).

Puntos especiales sobre la recta a trozos

Ahora se señalan los números \(n\) entre 1 y 500 para los cuales el número de nueves del primer múltiplo de la forma \(99\ldots 900\ldots 0\) vale

$$y=\frac{x}{2}-1 \text{ si } x \text{ es par}, \qquad y=\frac{x+1}{2}-1 \text{ si } x \text{ es impar}.$$
$$\begin{aligned} &3,\ 4,\ 13,\ 14,\ 31,\ 34,\ 38,\ 43,\ 46,\ 58,\ 67,\ 71,\ 83,\ 89,\ 94,\\ &107,\ 118,\ 122,\ 151,\ 157,\ 163,\ 191,\ 194,\ 197,\ 199,\ 218,\ 226,\\ &227,\ 262,\ 283,\ 293,\ 298,\ 307,\ 311,\ 334,\ 347,\ 358,\ 359,\ 362,\\ &373,\ 386,\ 401,\ 409,\ 431,\ 439,\ 443,\ 446,\ 458,\ 466,\ 467,\ 479 \end{aligned}$$

Números con un solo nueve

Lista de números \( n \le 500 \) para los cuales el primer múltiplo de la forma \( 99\ldots 900\ldots 0 \) tiene exactamente un solo 9.

En estos casos, el primer múltiplo es de la forma \( 9\cdot 10^k \), es decir, un 9 seguido de ceros.

$$\begin{aligned} &1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 8,\ 9,\ 10,\ 12,\ 15,\ 16,\ 18,\ 20,\ 24,\ 25,\\ &30,\ 32,\ 36,\ 40,\ 45,\ 48,\ 50,\ 60,\ 64,\ 72,\ 75,\ 80,\ 90,\ 96,\\ &100,\ 120,\ 125,\ 128,\ 144,\ 150,\ 160,\ 180,\ 192,\ 200,\ 225,\ 240,\\ &250,\ 256,\ 288,\ 300,\ 320,\ 360,\ 375,\ 384,\ 400,\ 450,\ 480,\ 500 \end{aligned}$$

Caracterización: son exactamente los números de la forma \( n = 2^a 3^b 5^c \), con \( b \le 2 \), es decir, cuyos únicos factores primos son 2, 3 y 5, y el exponente de 3 es como máximo 2.

Números con exactamente dos nueves

Los números \( n \le 500 \) cuyo primer múltiplo de la forma \( 99\ldots 900\ldots 0 \) tiene exactamente dos nueves son exactamente los de la forma

$$n=2^a\,3^b\,5^c\,11,\qquad b\le 2.$$

Hasta 500, la lista es:

$$\begin{aligned} &11,\ 22,\ 33,\ 44,\ 55,\ 66,\ 88,\ 99,\ 110,\ 132,\ 165,\\ &176,\ 198,\ 220,\ 264,\ 275,\ 330,\ 352,\ 396,\ 440,\ 495 \end{aligned}$$

Sus expresiones decimales periódicas son:

$$\begin{aligned} \frac1{11}&=0,\overline{09}\\ \frac1{22}&=0,0\overline{45}\\ \frac1{33}&=0,\overline{03}\\ \frac1{44}&=0,02\overline{27}\\ \frac1{55}&=0,0\overline{18}\\ \frac1{66}&=0,0\overline{15}\\ \frac1{88}&=0,011\overline{36}\\ \frac1{99}&=0,\overline{01}\\ \frac1{110}&=0,0\overline{09}\\ \frac1{132}&=0,00\overline{75}\\ \frac1{165}&=0,0\overline{06}\\ \frac1{176}&=0,0056\overline{81}\\ \frac1{198}&=0,0\overline{05}\\ \frac1{220}&=0,00\overline{45}\\ \frac1{264}&=0,003\overline{78}\\ \frac1{275}&=0,00\overline{36}\\ \frac1{330}&=0,0\overline{03}\\ \frac1{352}&=0,00284\overline{09}\\ \frac1{396}&=0,00\overline{25}\\ \frac1{440}&=0,002\overline{27}\\ \frac1{495}&=0,0\overline{02} \end{aligned}$$

En todos estos casos aparece el factor \(11\), por eso el primer múltiplo necesita exactamente dos nueves: viene dado por un número de la forma \(99\cdot 10^k\).

Créditos

Primera demostración del libro Matemáticas de lo cotidiano, sección El orden y el universo, autora Mª Ángeles Japón Pineda.
Segunda demostración basada en la fracción generatriz de una fracción.